哥德巴赫猜想證明者(精選多篇)

第一篇：哥德巴赫猜想的證明

猜想1 每個不小於6的偶數都可以表示為兩個奇素數之和

猜想2. 每個不小於9的奇數都可以表示為三個奇素數之和。

證明：

設：m為整數且≥3；a，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，b1，b2，b3，b4，b5，b6，

b7，b8，b9，為整數且≥1

∵m為整數且≥3

∴2m為偶數且≥6

尾數為1且<121的和數為：21，51.，81，91，111 共5個

尾數為1且≥121的和數可表示為：

①（10a+1）*（10b+1），2m>121

②（10a1+3）*（10b1+7），2m>221

③（10a2+9）*（10b2+9），2m>361

尾數為3且<143的和數為：33，63，93，123，133 共5個

尾數為3且≥143的和數可表示為：

④（10a3+1）*（10b3+3），2m>143

⑤（10a4+7）*（10b4+9），2m>323

大於0且尾數為5的整數除了5，其餘皆為和數

尾數為7且<187的和數為：27，,57，77,，87，117，147，177 共7個

尾數為7且≥187的和數可表示為：

⑥（10a5+1）*（10b5+7），2m>187

⑦（10a6+3）*（10b6+9），2m>247

尾數為9且<169的和數為：9，39，49，69，99，119，129，159 共8個

尾數為9且≥169的和數可表示為：

⑧（10a7+1）*（10b7+9），2m>209

⑨（10a8+3）*（10b8+3），2m>169

⑩（10a9+7）*（10b9+7），2m>289

∵a，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8，b9，為整數且≥1

令代數式①，②，③，……，⑩分別小於2m

則 ab，a1b1，a2b2，……，a9b9分別可以表示：當代數式①，②，③，……，⑩分別<2m 時，代數式①，②，③，……，⑩可以表示的數的個數

又∵大於等於3且小於2m的奇數可以求出為 m-1個 ∴ab可表示代數式①所能表示的數的個數與大於於3且小於2m的奇數的個數的m?1

比

（10a+1）*（10b+1）<2mab<2m?10a?10b?1100

ab2m?10a?10b?1<m?1100(m?1)

∵12m?10a?10b?1存在極大值 50100(m?1)

∴ab1的極大值為 m?150

m?1個 50∴大於等於3且小於2m的奇數中，代數式①能表示的數最多為

同理可求得，大於等於3且小於2m的奇數中，代數式①，②，③，……，⑩能表示的數最多都為m?1個 50

∴大於等於3且小於2m的奇數中，尾數為1的和數最多為3(m?1)+5個 50

2(m?1)大於等於3且小於2m的奇數中，尾數為3的和數最多為+5個 50

m?1大於等於3且小於2m的奇數中，尾數為5的和數最多為-1個 5

2(m?1)大於等於3且小於2m的奇數中，尾數為7的和數最多為+7個 50

3(m?1)大於等於3且小於2m的奇數中，尾數為9的和數最多為+8個 50

設p1，p2為正奇數

則 當m為奇數時滿足p1+p2=2m的p1，p2共有

∵當2m≥502時 [m?1-1組 2m?13(m?1)2(m?1)m?12(m?1)-1]-[+5]-[ +5]-[ -1]-[ +7] 25050550

3(m?1)-[ +8] 的極小值≥1 50

即，當2m≥502且m為奇數時至少有1 組p1，p2使猜想1成立

∴當2m≥502且m為奇數時猜想1成立

當m為偶數時滿足p1+p2=2m的p1，p2共有

∵當2m≥512時 [m-1組 2m3(m?1)2(m?1)m?12(m?1)-1]-[+5]-[ +5]-[ -1]-[ +7] 25050550

3(m?1)-[ +8] 的極小值≥1 50

即，當2m≥512且m為奇數時至少有1 組p1，p2使猜想1成立

∴當2m≥512且m為偶數時猜想1成立

∴當2m≥512時 猜想1成立

當2m≤512時，利用窮舉法，證得，猜想1成立

∴綜上所述，猜想1成立

∵大於等於9的偶數可以表示為 3+大於等於6的偶數

又∵猜想1成立

∴猜想2成立

通過總結證明過程可以得出：質數的個數與和數個數的比值無限接近1:9

第二篇：我對哥德巴赫猜想的證明

我對哥德巴赫猜想的證明

哥德巴赫猜想：每個大於等於6的偶數，都可表示為兩個奇素數之和。

證明： 構造集合 v = {x | x 為素數 } ， 即 對於任意素數 x ∈ v現構造大數 k 為集合 v 所有元素的乘積，

k=∏x ( x ∈ v) = 2*3*5*7*11*13......*m*......*n即k為所有素數的乘積，由上式明顯可知，k為大於6的偶數。按照哥德巴赫猜想，可表示為 k = l + g

現假定 l 是素數，可得

g = k - l = l * （k/l -1）

然 對於任何一個素數 l 均為 k 的一個因子，

∴ 其中 k/l 為 正整數， 且有k 的構造明顯可知 k/l大於2 ，∴ （k/l -1）為 大於等於 2的正整數，又∵ l 為一個素數，∴ g 不等於 k/l -1。

∵g 除了1 和 自身 外 至少還有 l 和 k/l -1 兩個因子， ∴g 不是素數。

∵ 對於任何奇素數 l ，g = k - l 都不是素數

∴ k 不能被表示為兩個奇素數之和的形式

∴ 可知 哥德巴赫猜想 不成立。

證明完畢。

第三篇：哥德巴赫猜想證明方法

哥德巴赫猜想的證明方法

探索者：王志成

人們不是説：證明哥德巴赫猜想，必須證明“充分大”的偶數有“1+1”的素數對，才能説明哥德巴赫猜想成立嗎？今天，我們就來談如何尋找“充分大”的偶數素數對的方法。

“充分大”的偶數指10的500次方，即500位數以上的偶數。因為，我沒有學過電腦，也不知道大數的電腦計算方法，所以，我只有將“充分大”的偶數素數對的尋找方法告訴大家，請電腦高手幫助進行實施。又因為，人們已經能夠尋找1000位數以上的素數，對於500位數以內的素數的尋找應該不是問題，所以，“充分大”的偶數應該難不住當今的學術界。

“充分大”的偶數雖然大，我認為：我們只須要尋找一個特定的等差數列後，再取該數列的1000項到2014項，在這2014個數之內必然能夠尋找到組成偶數素數對的素數。下面，我們進行簡單的探索，從中尋找到具體方法。

我們以偶數39366為例，進行探索，按照本人的定理：在偶數內，既不能被素因子整除，也不與偶數除以素因子的餘數相同的數（自然數1除外），必然能夠組成偶數的素數對。

這裏所説的素因子，指小於偶數平方根的素數，√39366≈198，即小於198的素數為偶數39366的素因子。

一、初步探索，

1、素因子2，39366/2餘0，當然，任何偶數除以2都餘0，素數2把自然數分為：1+2n和2+2n，除以2餘0的數和與偶數除以素因子2的餘數相同的數都是2+2n數列中的數，剩餘1+2n數列中的數為哥德巴赫數的形成線路；

2、素因子3，39366/3餘0，素數3把1+2n數列分為：1+6n，3+6n，5+6n，除以3餘0的數和與偶數除以素因子3的餘數相同的數都是3+6n數列中的數，剩餘1+6n，5+6n，兩個數列中的數為哥德巴赫數的形成線路；

3、素因子5，39366/5餘1，我們對上面剩餘的兩個數列任意取一個數列1+6n，取與素因子相同的項，5個項有：1，7，13，19，25。在這5個項中，必然有一個項除以5餘0，必然有一個項除以素因子的餘數與偶數除以素因子的餘數相同，必然剩餘素因子5減去2（不能被素因子整除的，為素因子減去1）個項，即5-2=3個項既不能被素因子整除，也不與偶數除以素因子的餘數相同的數。剩餘7，13，19，以前面的素因子乘積2*3*5為公差，組成3個哥德巴赫數的形成線路：7+30n，13+30n，19+30n。後面只取3個項，至少有一個項。

4、素因子7，39366/7餘5，我們任意取7+30n的3個項有：7，37，67，這3個數中37，67，既不能被素因子整除，也不與偶數除以素因子的餘數相同的數。即37+210n和67+210n兩條線路都可以，

5、素因子11，39366/11餘8，我們取37+210n的3個項：37，247，457，這3個數，既不能被素因子整除，也不與偶數除以素因子的餘數相同的數。組成3個數列：37+2310n，247+2310n，457+2310n。

7、素因子13，39366/13餘2，因為，下一個公差為2*3*5*7*11*13=30030，39366/30030≈1，不能組成與素因子13相同的13個項，尋找組成偶數的素數對的素數，在取最後一個公差的等差數列時，不能取與素因子相同項數時，最少必須取素因子1/2以上的項。我們取247+2310n數列在偶數1/2之內的數有：247，2557，4867，7177，9487，11797，14107，16417，18727。

從素因子13到197，雖然還有40個素因子進行刪除，但是，大家不要怕，它們的刪除率是相當低的，所以，在這些數中必然有能夠組成偶數素數對的素數存在。

素因子13，刪除能被13整除的數247，刪除除以13與39366除以13餘數相同的數14107； 素因子19，刪除除以19與39366除以19餘數相同的數11797；

素因子31，刪除能被31整除的數4867；

素因子53，刪除能被53整除的數9487，刪除除以53與39366除以53餘數相同的數16417；

素因子61，刪除能被61整除的數18727。

最後，剩餘2557和7177兩個數，必然能組成偶數39366的素數對。

探索方法二、

1、尋找等差數列的公差，令偶數為m、公差為b，我們已知該題的公差為2310，2310=2*3*5*7*11，大於11的下一個素數為13，用13/2=6.5，那麼，公差的要件為： m/b＞6.5，即大於7個項，主要是既要取最大的公差，又要確保不低於下一個素因子的1/2個項。我們就選擇2310為該偶數的公差。

2、尋找等差數列的首項，令首項為a，a的條件為：既不能被組成公差的素數2，3，5，7，11整除，也不與偶數除以2，3，5，7，11的餘數相同，還必須在公差2310之內；

（1）、不能被2，3，5，7，11整除的數有：在2310之內，大於或等於13的素數；自然數1；由大於或等於13的素因子與大於或等於13的素因子所組成的合數。為了方便起見，我們在這裏取大於或等於13的素因子。

（2）、a除以2，3，5，7，11的餘數不與偶數39366除以2，3，5，7，11的餘數相同。因39366-13=39353，39353分別除以2，3，5，7，11不能整除，故13除以2，3，5，7，11的餘數不與偶數39366除以2，3，5，7，11的餘數相同，可以定為首項，得該等差數列為13+2310n。

取等差數列13在m/2的項有：13，2323，4633，6943，9253，11563，13873，16183，18493。當然，你也可以取該數列在偶數內的所有項，但是，當你全盤計算該偶數素數對時，取所有項必然形成與對稱數列的計算重複，該數列的對稱數列：因2310-13=2297，13不能被2，3，5，7，11整除，除以2，3，5，7，11的餘數不與偶數39366除以2，3，5，7，11的餘數相同，那麼，對稱數2297也必然滿足這些條件，2297+2310n同樣是產生素數對的等差數列。

3、在上面的9上項中，去掉合數：2323，4633，6943，9253，11563，

4、再去掉除以後面40個素因子餘數與偶數除以這40個素因子餘數相同的數，也就是對稱數是合數的數：13，13873，16183，剩餘18493必然能夠組成偶數39366的素數對。

簡單地談一下素數生成線路與哥德巴赫數的生成線路的區別：

1、素數生成線路，我們仍然以2310為公差，在2310之內不能被2，3，5，7，11整除的數有：2310*（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*（10/11）=480個，我們可以用這480個數為首項，以2310為公差組成480個等差數列，為偶數39366內的素數生成線路。對於相鄰的偶數39364和39368來説，素數的生成線路是一樣的。

2、我們把能夠組成偶數素數對的素數稱為哥德巴赫數，偶數39366的哥德巴赫數生成

線路，以2310為公差，在2310之內，既不能被2，3，5，7，11整除，也不與偶數39366除以2，3，5，7，11的餘數相同的數有：2310*（1/2）*（2/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）=270個，即偶數39366以2310為公差的哥德巴赫數生成線路為270條，在2310內的這270個數又是與2310/2=1155完全對稱的，如果全盤進行計算必然重複，故，也可以看成是270/2=135條完整的哥德巴赫數形成線路，而素數生成線路是不會重複的。

而偶數39364的哥德巴赫數生成線路，在2310之內既不能被2，3，5，7，11整除，也不與偶數除以2，3，5，7，11的餘數相同的數有：2310*（1/2）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）=135，為135條線路，只有偶數39366的1/2。區別在於偶數39366能夠被素因子3整除，為乘以2/3，偶數39364不能夠被素因子3整除，為乘以1/3，即能夠整除的素因子x，為乘以（x-1）/x，不能夠整除的素因子y，為乘以（y-2）/y，所以，偶數39366的素數對相當於偶數39364的素數對的2倍。

對於“充分大”的偶數的估算：充分大的偶數為500位數，素數對個數，根據《哥德巴赫猜想的初級證明法》中，當偶數大於91時，偶數的素數對個數不低於k（√m）/4，估計當偶數大於500位時，k的值為4*10的10次方，得充分大的偶數的素數對個數不低於260位數，用500位數的偶數除以260位數的數，得充分大的偶數平均240位數個數字中，有一個素數對的存在。如果我們直接進行尋找，相當於大海撈針。

如果，我們按照上面的方法二進行尋找，公差應為496位數，估計素數2*3*5*7*?*1283為496位數，從素數1289到2861之內，有素數除以素因子2，3，5，7，?，1283的餘數不與偶數除以這些素因子的餘數相同的數存在，存在的這個數可以作為等差數列的首項，2*3*5*7*?*1283的積作為等差數列的公差，取1289項，即1289個數，在這1289個數中，應該有能夠組成500位數的偶數的1+1的素數對的素數存在。

難易度分析

尋找“充分大”偶數的一個“1+1”素數對與驗證1000位數以上的一個素數相比較，到底哪一個難度小。

人類已經能夠尋找並驗證1000位數以上的素數，到底人們使用的什麼辦法，我雖然不知道，但有一點可以肯定：都涉及素數，如果是簡單的方法，那麼，都是簡單方法；如果是笨辦法，那麼，都用笨辦法。我們在這裏採用笨辦法進行比較：

充分大的偶數指500位數的數，與1000位數的素數相比，相差500位數。1000位數的數開平方為500位數，我們以位數相差一半的數為例進行分析。

100000000與10000相差一半的位數。笨辦法是：要驗證100000000以上的一個素數，假設要驗證的這個數開平方約等於10000，必須要用這個數除以10000之內的素數，不能被這之內所有的素數整除，這個數才是素數。因為，10000內共有素數1229個，即必須做1229個除法題，才能得知這個數是不是素數。説個再笨一點的辦法，假設我們不知道10000之內的素數，能否驗證100000000以上的這個數是不是素數呢？能，那就是用這個數除以10000內的所有數，不能被這之內所有的數整除，也説明這個數是素數。（之所以説，這兩種辦法是笨辦法，當我們知道10000內的所有素數時，要尋找100000000內的所有素數，不是用除法，而是用乘法，步驟最多隻佔第一種笨辦法的1%，詳見本人的《素數的分佈》中所説的方法）。

當我們尋找偶數10000的一個素數對，須要多少個運算式？

我們知道：2*3*5*7*11=2310，10000/2310≈4，13/2=6.5，按理説應該取等差數列的7項以上，這裏可以取4個項，接近應取數。我們基本上可以使用這個公差。這裏的計算為5個計算式，簡稱5步；

大於11的素數，從13開始，尋找等差數列的首項，我們用（10000-13）分別除以2，3，5，7，11。能被3整除，除到3為止，一個減法，兩個除法，為3步；

素數17，（10000-17）分別除以2，3，5，7，11。不能整除，可以用17為等差數列的首項，組成等差數列：17+2310n。為6步；

數列17+2310n在10000內有：17，2327， 4637，6947，9257，為4步；

計算素因子，√10000=100，素因子為100之內的素數，除2，3，5，7，11外，還剩13 ，17 ，19 ，23 ，29，31 ，37 ，41 ，43， 47， 53 ，59 ，61， 67 ，71，73 ，79 ，83， 89， 97，為20個素因子。為1步；

用10000分別除以這20個素因子，把餘數記下來。為20步；

用17分別除以這些素因子，當除到67時餘數與10000除以67餘數相同，為14步； 用2327分別除以這些素因子，當除到13時餘數為0，為1步；

用4637分別除以這些素因子，當除到31時餘數與10000除以31餘數相同，為6步； 用6947分別除以這些素因子，當除到43時餘數與10000除以43餘數相同，為9步； 用9257分別除以這些素因子，既不能整除，也不與10000除以這些素因子的餘數相同，奇數9257必然能組成偶數10000的素數對。為20步。

總計為：102步計算式。而驗證100000000以上的一個素數須要1229步計算式相比，結論為：尋找10000的一個素數對比驗證100000000以上的一個素數簡單。也就是説，尋找一個500位數偶數1+1的素數對，比驗證一個1000位數以上的素數容易。

尋找500位數偶數的素數對，因為，2*3*5*7*11*?*1283左右，其乘積為493到496位數，下一個素數可能為1289左右，1289/2=644.5。才能滿足取下一個素因子的值的1/2以上個項，當然，能夠取到1289個項以上更好，更容易尋找到偶數的素數對。

敬請世界電腦高手驗證，充分大的偶數必然有1+1的素數對存在，哥德巴赫猜想必然成立。

四川省三台縣工商局：王志成

第四篇：用c語言證明哥德巴赫猜想

用c語言證明哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想：任何一個大於6的偶數都可以寫成兩個素數的和。 #include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

int main(void)

{

int number,a,b;

char c;

int i,j,k,l;

int sum,m;

system("cls");

printf("enter your number:");

scanf("%d",&number);

for (i=2; i<=number; i++)

{

sum=1;

for (j=2; j<i; j++)

{

if (i%j!=0)

{

sum=sum+1;

}

}

if (sum==(i-1))

{

if ((i+1)==number)

{

a=i;

b=1;

printf("%d=%d+%dn",number,a,b);

}

else

{

for (k=2; k<=i; k++)

{

m=1;

for (l=2; l<k; l++)

{

if (k%l!=0)

{

m=m+1;

} } if (m==(k-1)) {if ((i+k)==number&&i!=k){a=i;b=k;printf("%d=%d+%dn",number,a,b);

}

}

}

}

system("pause");

}} }

第五篇：陳景潤對哥德巴赫猜想的證明

陳景潤對哥德巴赫猜想的證明

這個問題是德國數學家哥德巴赫（c．goldbach，1690-1764）於1742年6月7日在給大數學家歐拉的信中提出的，所以被稱作哥德巴赫猜想。同年6月30日，歐拉在回信中認為這個猜想可能是真的，但他無法證明。從此，這道數學難題引起了幾乎所有數學家的注意。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。“用當代語言來敍述，哥德巴赫猜想有兩個內容，第一部分叫做奇數的猜想，第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出，任何一個大於等於7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是説，大於等於4的偶數一定是兩個素數的和。”（引自《哥德巴赫猜想與潘承洞》）

哥德巴赫猜想貌似簡單，要證明它卻着實不易，成為數學中一個著名的難題。18、19世紀，所有的數論專家對這個猜想的證明都沒有作出實質性的推進，直到20世紀才有所突破。直接證明哥德巴赫猜想不行，人們採取了“迂迴戰術”，就是先考慮把偶數表為兩數之和，而每一個數又是若干素數之積。如果把命題"每一個大偶數可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a＋b"，那麼哥氏猜想就是要證明"1＋1"成立。

1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特，在國際數學會議上把“哥德巴赫猜想”列為23個數學難題之一。此後，20世紀的數學家們在世界範圍內“聯手”進攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終於取得了輝煌的成果。

到了20世紀20年代，有人開始向它靠近。1920年，挪威數學家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比6大的偶數都可以表示為（9+9）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從（9十9）開始，逐步減少(感謝訪問本站)每個數裏所含質數因子的個數，直到最後使每個數裏都是一個質數為止，這樣就證明了“哥德巴赫猜想”。

1920年，挪威的布朗(brun)證明了 “9+9 ”。

1924年，德國的拉特馬赫(rademacher)證明了“7+7 ”。

1932年，英國的埃斯特曼(estermann)證明了 “6+6 ”。

1937年，意大利的蕾西(ricei)先後證明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”。1938年，蘇聯的布赫 夕太勃(byxwrao)證明了“5+5 ”。

1940年，蘇聯的布赫 夕太勃(byxwrao)證明了 “4+4 ”。

1948年，匈牙利的瑞尼(renyi)證明了“1+c ”，其中c是一很大的自然數。1956年，中國的王元證明了 “3+4 ”。

1957年，中國的王元先後證明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩(bapoah)證明了 “1+5 ”， 中國的王元證明了“1+4 ”。

1965年，蘇聯的布赫 夕太勃(byxwrao)和小維諾格拉多夫(bhhopappb)，及 意大利的朋比利(bombieri)證明了“1+3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了 “1+2 ”[用通俗的話説，就是大偶數=素數+素數*素數或大偶數=素數+素數（注：組成大偶數的素數不可能是偶素數，只能是奇

數。因為在素數中只有一個偶素數，那就是2。）]。

其中“s + t ”問題是指: s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和

20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所採用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最後的結果。

由於陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最後結果“1＋1”僅有一步之遙了。但為了實現這最後的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明“1＋1”，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。 1966年春,陳景潤向世界宣告，他得出了關於哥德巴赫猜想的最好的結果(1+2)，即任何一個充分大的偶數，都可以表示成為兩個數之和，其中一個是素數，另一個為不超過兩個素數的乘積。1966年,第17期《科學通報》上發表了陳景潤的論文。

(原文200多頁，不乏宂雜之處。)

1972年，陳景潤改進了古老的篩法，完整優美地證明了哥德巴赫猜想中的(1+2),改進了1966年的論文。

1973年,《中國科學》雜誌正式發表了陳景潤的論文《大偶數表為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和》。該文和陳景潤1966年6月發表在《科學通報》的論文題目是一樣的，但內容煥然一新，文章簡潔、清晰。

該論文的排版也頗費周折。由於論文中數學公式極多，符號極繁，且很多是多層嵌套，拼排十分困難。科學院印刷廠派資深排版師傅歐光弟操作，整整排了一星期。

所以只貼陳景潤先生在論文之開始：

【命p_x(1,2)為適合下列條件的素數p的個數：

x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)

其中p_1, p_2 , p_3都是素數。

用x表一充分大的偶數。

命cx={∏p|x,p 2}(p-1)/(p-2){∏p 2}(1-1/(p-1)^2 )

對於任意給定的偶數h及充分大的x，用xh(1,2)表示滿足下面條件的素數p的個數：p≤x,p+h＝p_1或h+p＝(p_2)*(p_3)，

其中p_1,p_2,p_3都是素數。

oldbach猜想目前沒有證明出來，最好的結果就是陳式定理。陳景潤的證明很長，而且非數論專業的人一般不可能讀懂。整理過的證明參看

潘承洞，潘承彪 著，《哥德巴赫猜想》，北京：科學出版社，1981。

此書較老，現應已絕版，可在較大的圖書館找到。

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