高中數學知識總結【精品多篇】
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高中數學知識總結 篇一
重點知識歸納、總結
(1)集合的分類
(2)集合的運算
①子集,真子集,非空子集;
②A∩B={xx∈A且x∈B}
③A∪B={xx∈A或x∈B}
④A={xx∈S且xA},其中AS.
2、不等式的解法
(1)含有絕對值的不等式的解法
①x0)-a
x>a(a>0)x>a,或x<-a.
②f(x)
f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)。
③f(x) ④對於含有兩個或兩個以上的絕對值符號的絕對值不等式,利用“零點分段討論法”去絕對值。如解不等式:x+3-2x-1<3x+2. 3、簡易邏輯知識 邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”是判斷簡單合題與複合命題的依據;真值表是由簡單命題和真假判斷複合命題真假的依據,理解好四種命題的關係,對判斷命題的真假有很大幫助;掌握好反證法證明問題的步驟。 (2)複合命題的真值表 非p形式複合命題的真假可以用下表表示。 p非p 真假 假真 p且q形式複合命題的真假可以用下表表示。 p或q形式複合命題的真假可以用下表表示。 (3)四種命題及其相互之間的關係 一個命題與它的逆否命題是等價的。 (4)充分、必要條件的判定 ①若pq且qp,則p是q的充分不必要條件; ②若pq且qp,則p是q的必要不充分條件; ③若pq且qp,則p是q的充要條件; ④若pq且qp,則p是q的既不充分也不必要條件。 一、集合間的關係 1、子集:如果集合A中所有元素都是集合B中的元素,則稱集合A為集合B的子集。 2、真子集:如果集合AB,但存在元素a∈B,且a不屬於A,則稱集合A是集合B的真子集。 3、集合相等:集合A與集合B中元素相同那麼就説集合A與集合B相等。 子集:一般地,對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們就説集合A包含於集合B,或集合B包含集合A,記作:AB(或BA),讀作“A包含於B”(或“B包含A”),這時我們説集合是集合的子集,更多集合關係的知識點見集合間的基本關係 二、集合的運算 1、並集 並集:以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並(集),記作A∪B(或B∪A),讀作“A並B”(或“B並A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 2、交集 交集:以屬於A且屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的交(集),記作A∩B(或B∩A),讀作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 3、補集 三、高中數學集合知識歸納: 1、集合的有關概念。 1)集合(集):某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集)。其中每一個對象叫元素 注意:①集合與集合的元素是兩個不同的概念,教科書中是通過描述給出的,這與平面幾何中的點與直線的概念類似。 ②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互異性(若a?A,b?A,則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。 ③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件 2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法 3)集合的分類:有限集,無限集,空集。 4)常用數集:N,Z,Q,R,N* 2、子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。 1)子集:若對x∈A都有x∈B,則AB(或AB); 2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或,且) 3)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 4)並集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)補集:CUA={x|xA但x∈U} 注意:①?A,若A≠?,則?A; ②若,,則; ③若且,則A=B(等集) 3、弄清集合與元素、集合與集合的關係,掌握有關的術語和符號,特別要注意以下的符號:(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。 4、有關子集的幾個等價關係 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5、交、並集運算的性質 ①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6、有限子集的個數:設集合A的元素個數是n,則A有2n個子集,2n-1個非空子集,2n-2個非空真子集。 四、數學集合例題講解: 【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},則M,N,P滿足關係 A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM 分析一:從判斷元素的'共性與區別入手。 解答一:對於集合M:{x|x=,m∈Z};對於集合N:{x|x=,n∈Z} 對於集合P:{x|x=,p∈Z},由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數,而6m+1表示被6除餘1的數,所以MN=P,故選B。 分析二:簡單列舉集合中的元素。 解答二:M={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},這時不要急於判斷三個集合間的關係,應分析各集合中不同的元素。 =∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN, =P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以選B。 點評:由於思路二隻是停留在最初的歸納假設,沒有從理論上解決問題,因此提倡思路一,但思路二易人手。 變式:設集合,,則(B) A.M= 解: 當時,2k+1是奇數,k+2是整數,選B 【例2】定義集合A*B={x|x∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},則A*B的子集個數為 A)1B)2C)3D)4 分析:確定集合A*B子集的個數,首先要確定元素的個數,然後再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n個來求解。 解答:∵A*B={x|x∈A且xB},∴A*B={1,7},有兩個元素,故A*B的子集共有22個。選D。 變式1:已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,則6?a∈M,那麼集合M的個數為 A)5個B)6個C)7個D)8個 變式2:已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A. 解:由已知,集合中必須含有元素a,b. 集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}。 評析本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數,所以共有個。 【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。 解答:∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3. ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A ∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1, ∴∴ 變式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求實數b,c,m的值。 解:∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5 ∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴ 又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4 ∴b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1 分析:先化簡集合A,然後由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬於B,哪些元素不屬於B。 解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B,而(-∞,-2)∩B=ф。 綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5} 變式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0) 點評:在解有關不等式解集一類集合問題,應注意用數形結合的方法,作出數軸來解之。 變式2:設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有滿足條件的a的集合。 解答:M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM ①當時,ax-1=0無解,∴a=0② 綜①②得:所求集合為{-1,0,} 【例5】已知集合,函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q,若P∩Q≠Φ,求實數a的取值範圍。 分析:先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在有解,再利用參數分離求解。 解答:(1)若,在內有有解 令當時, 所以a>-4,所以a的取值範圍是 變式:若關於x的方程有實根,求實數a的取值範圍。 解答: 點評:解決含參數問題的題目,一般要進行分類討論,但並不是所有的問題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。 知識點概述 本節包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常見的特殊集合、集合的分類和集合間的基本關係等知識點,除了集合的表示方法中的描述法較難理解,其它的都多是好理解的知識,只需加強記憶。 知識點總結 方法:常用數軸或韋恩圖進行集合的交、並、補三種運算 1、包含關係子集 注意:有兩種可能(1)A是B的一部分;(2)A與B是同一集合。 反之:集合A不包含於集合B或集合B不包含集合A記作AB或BA 2、不含任何元素的集合叫做空集,記為 規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集 3、相等關係(55,且55,則5=5) 實例:設A={xx2—1=0}B={—11}元素相同 結論:對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就説集合A等於集合B,即:A=B 常見考點考法 集合是學習函數的基礎知識,在段考和大學聯考中是必考內容。在段考中多考查集合間的子集和真子集關係,在大學聯考中也是不可少的考查內容,多以選擇題和填空題的形式出現,經常出現在選擇填空題的前幾小題,難度不大。主要與函數和方程、不等式聯合考查的集合的表示方法和集合間的基本關係。 常見誤區提醒 1、集合的關係問題,有同學容易忽視空集這個特殊的集合,導致錯解。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 2、集合的運算要注意靈活運用韋恩圖和數軸,這實際上是數形結合的思想的具體運用。 3、集合的運算注意端點的取等問題。最好是直接代入原題檢驗。 4、集合中的元素具有確定性、互異性和無序性三個特徵,尤其是確定性和互異性。在解題中,要注意把握與運用,例如在解答含有參數問題時,千萬別忘了檢驗,否則很可能會因為不滿足互異性而導致結論錯誤。 複習的重點一是要掌握所有的知識點,二就是要大量的做題,編輯為各位考生帶來了高中數學知識點複習:集合與映射專題複習指導 一、集合與簡易邏輯 複習導引:這部分大學聯考題一般以選擇題與填空題出現。多數題並不是以集合內容為載體,只是用了集合的表示方法和簡單的交、並、補運算。這部分題其內容的載體涉及到函數、三角函數、不等式、排列組合等知識。複習這一部分特別請讀者注意第1題,闡述瞭如何審題,第3、5題的思考方法。簡易邏輯部分應把目光集中到充要條件上。 1、設集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、Sk都是M的含兩個元素的子集,且滿足:對任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(ij,i、j{1,2,3,k})都有min{-,-}min{-,-}(min{x,y}表示兩個數x、y中的較小者)。則k的最大值是() A.10B.11 C.12D.13 分析:審題是解題的源頭,數學審題訓練是對數學語言不斷加深理解的過程。以本題為例min{-,-}{-,-}如何解決?我們不妨把抽象問題具體化! 如Si={1,2},Sj={2,3}那麼min{-,2}為-,min{-,-}為-,Si是Sj符合題目要求的兩個集合。若Sj={2,4}則與Si={2,4}按題目要求應是同一個集合。 題意弄清楚了,便有{1,2},{2,4},{1,3},{2,6},{1,2},{3,6},{2,3},{4,6}按題目要求是4個集合。M是6個元素構成的集合,含有2個元素組成的集合是C62=15個,去掉4個,滿足條件的集合有11個,故選B。 注:把抽象問題具體化是理解數學語言,準確抓住題意的捷徑。 2、設I為全集,S1、S2、S3是I的三個非空子集,且S1S3=I,則下面論斷正確的是() (A)CIS1(S2S3)= (B)S1(CIS2CIS3) (C)CIS1CIS2CIS3= (D)S1(CIS2CIS3) 分析:這個問題涉及到集合的交、並、補運算。我們在複習集合部分時,應讓同學掌握如下的定律: 摩根公式 CIACIB=CI(AB) CIACIB=CI(AB) 這樣,選項C中: CIS1CIS2CIS3 =CI(S1S3) 由已知 S1S3=I 即CI(S1S3)=CI= 而上面的定律並不是複習中硬加上的,這個定律是教材練習一道習題的引申。所以,大學聯考複習源於教材,高於教材。 這道題的解決,也可用特殊值法,如可設S1={1,2},S2={1,3},S3={1,4}問題也不難解決。 3、是正實數,設S={|f(x)=cos[(x+])是奇函數},若對每個實數a,S(a,a+1)的元素不超過2個,且有a使S(a,a+1)含2個元素,則的取值範圍是。 解:由f(x)=cos[(x+)]是奇函數,可得cosxcos=0,cosx不恆為0, cos=0,=k+-,kZ 又0,=-(k+-) (a,a+1)的區間長度為1,在此區間內有且僅有兩個角,兩個角之差為:-(k1+k2) 不妨設k0,kZ: 兩個相鄰角之差為-。 若在區間(a,a+1)內僅有二角,那麼-2,2。 注:這是集合與三角函數綜合題。 對應於一組,正如在數學原始概念。我們知道,有個和數字線之間真正的對應關係,點的實數的平面座標,並下令一名男子與他的名字,一個學生,他的學校,可以看作是對應關係。 對應的是兩個集合A和B.A 之間的關係對於每一個元素,有以下三種情況: 比索(1)B有相應的唯一元素。 (2)B,有對應的一個以上的元素。 (3)B是沒有相應的元件。 同樣,對於B中的每一個元素而言,有以下三種情況: 在相應的獨特元素。 比索(5),有相應的多個元素。 比索(6)沒有相應的元素。 相當於在一般情況下,這些情況都可能發生。 【2】映射 映射是一種特殊的對應關係,學習這個定義時,應注意以下幾點: 比索(1)映射為對應的集合從A,B和從A到BF由法律決定。 (2)中的映射,設置一個“任何元素”有“才”在集合B這不是集合A的元素在集合B中存在的沒有,或者案件多於一個的對象(即,將不會在上述(2)(3)在這兩種情況下)。 比索(3)在地圖上,設置一個狀態和B是不平等的。在一般情況下,我們並不要求B的兩個元素之間的映射和A是對應於(間的(4)(5)(6)三種情況下都可能發生,即對應)的唯一元素。因此,從映射A到B並從B到A被映射有不同的要求。A的收集,B可以是相同的集合。 彷彿原始圖像是一個映射f,從A到B,那麼A和B在圖像B中的對應元素的元素稱為,原來的名字圖像b的關係可以表示為B=F(A),與原圖像的概念和類似物,該映射可以被理解為“A中的每個元素有B中一個獨特的圖像”對應於這樣一個特殊的。由於映射在一般情況下,B,作為元件不一定如此,因為該組(即由所有的圖像形成的集合)是B的子集,記為{F(A)|a∈A}IB。高中數學知識總結 篇二
高中數學知識總結 篇三
高中數學知識總結 篇四
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