分析法證明不等式(精選多篇)

第一篇：分析法證明不等式

分析法證明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求證|a|+|b|/|a+b|<=√2

【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由題設條件可知，

a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.

具體的，即是|a+b|>0

【2】

顯然，由|a+b|>0可知

原不等式等價於不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

該不等式等價於不等式：

(|a|+|b|)²≤².

整理即是：

a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)

【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

又ab=0,故接下來就有】】

a²+b²≤2a²+2b²

0≤a²+b²

∵a，b是非零向量，

∴|a|≠0,且|b|≠0.

∴a²+b²>0.

推上去，可知原不等式成立。

作為數學題型的不等式證明問題和作為數學證明方法的分析法，兩者皆為中學數學的教學難點。本文僅就用分析法證明不等式這一問題稍作探討。

注:“本文中所涉及到的圖表、公式註解等形式請以pdf格式閲讀原文。”

就是在其兩邊同時除以根號a+根號b，就可以了。

下面我給你介紹一些解不等式的方法

首先要牢記一些我們常見的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，還有琴深不等式(當然這些是翻譯的問題)

然後要學會用一些函數的方法，這是解不等式最常見的方法。分析法，綜合法，做減法，假設法等等這些事容易的。

在考試的時候方法最多的是用函數的方法做，關鍵是找到函數的定義域，還有求出它的導函數。找到他的最小值，最大值。

在結合要求的等等

一句話要靈活的用我們學到的知識解決問題。

還有一種方法就是數學證明題的最會想到的。就是歸納法

這種方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正數a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值範圍是?

解：ab-3=a+b>=2根號ab

令t=根號ab,

t^2-2t-3>=0

t>=3ort<=-1(舍)

即，根號ab>=3，

故，ab>=9(當且僅當a=b=3是取等號)。

第二篇：分析法證明不等式08

分析法證明不等式

教學目標:

1．掌握分析法證明不等式；

2．理解分析法實質——執果索因；

3．提高證明不等式證法靈活性.

教學重點:

分析法

教學難點:

分析法實質的理解

教學過程:

一．分析法：

證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那麼就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法.

例1求證3?7?25 證明：因為?和2都是正數，所以為了證明??2 只需證明(3?7)2?(2)2

展開得10?221?20

即221?10,21?25

因為21?25成立，所以

(3?7)2?(2)2成立 即證明了??2

注意：①分析法是“執果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與

綜合法是對立統一的兩種方法.綜合法是“由因導果”

②分析法論證“若a則b”這個命題的模式是：為了證明命題b為真，這隻需要證明命題b1為真，從而有??

這隻需要證明命題b2為真，從而又有??

這隻需要證明命題a為真

而已知a為真，故b必真

例2證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面的周長相等，那麼截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.

分析：當水的流速相同時，水管的流量取決於水管截面面積的大小，

ll設截面的周長為l，則周長為l的圓的半徑為，截面積為t1()2；周2?2?

ll長為l的正方形邊長為，截面積為()2.所以本題只需證明44

ll?()2?()2. 2?(本文來源本站)4

説明：對於較複雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然後用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的。

二．課堂練習：

課本p16練習1，2，3

三．課堂小結

師：通過本節學習，要求大家在理解分析法的邏輯關係的基礎上掌握分析法證明不等式，並加深認識不等式證明方法的靈活性，能綜合運用證明不等式的各種方法.

四．課後作業

p17 習題6.34，5，9

五．板書設計

第三篇：分析法證明不等式

主備人：審核： 包科領導：年級組長：使用時間：

4-5

【教學目標】

1.掌握分析法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用分析法證明不等式。

【重點、難點】

重點：分析法證明不等式。

難點：分析法證明不等式。

【學法指導】

1.據學習目標，自學課本內容，限時獨立完成導學案；

2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；

1， 預習p17-p18,

【自主探究】

i. 分析法：從所要證明的結論入手向已知條件反推直至達到已知條件為

止，這種證明方

法稱為。 即“執果索因”的證明方法，即從“未知” 看

“”它

也是證明不等式的一種重要的基本方法。證明時一定要注意書寫格式。

ii. 分析法的本質是從需證的不等式出發尋求使結論成立的充分條件，證

明的關鍵是推理每一步都

必須可逆，簡言之，步步可逆。

證明的模式(步驟)以論證“若a則b”為例；欲證明b成立，

只需證明b1成立，從而又??

只需證明b2成立，從而又??

????

只需證明a為真，今已知a真,故b必真

可見分析法就是尋求上一步成立的充分條件，可以簡單寫成

b?b1?b2?......?a

【合作探究】

證明下列不等式

（1） 求證 ：

分析法證明不等式 ?2

（2）已知ａ＞0, b>0且a>b

?

【鞏固提高】

（1），已知a,b,x,y?r,且a2?b2?1,x2?y2?1,求證: ax?by?1

?（2），已知a,b ?r,a?b?1,求證:(a?)(b?)?1

a1b25 4

【能力提升】

已知 a,b ?r,2c?a?b,求證:

c?a?c?

本節小結：

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第四篇：2、綜合法和分析法證明不等式

南化一中高三數學第一輪複習講義55第六章《不等式》

§6.2綜合法和分析法證明不等式

【複習目標】

1． 熟悉證明不等式的綜合法、分析法，並能應用其證明不等式；

2． 理解分析法的實質是“執果索因”；注意用分析法證明不等式的表述格式；

3． 對於較複雜的不等式，能綜合使用各種方法給予證明。

【重點難點】

綜合法的難點在於從何處出發進行論證並不明確，因此我們經常用分析法尋找解題的思路，再用綜合法表述。分析法是“執果索因”，綜合法是“由因導果”。要注意分析法的表述格式。

【課前預習】

1.“a>1”是“1?1”的（） a

a. 充分但不必要條件b. 必要但不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條

2.

a?3)

3. 證明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

4. 設a,b,c∈r+,則三個數a?1，b?1，c?1的值，則（） bca

a. 都大於2b. 至少有一個不大於2c. 都小於2d. 至少有一個不小於2

【典型例題】

11??3? xy

abc???a??c.（2）設a,b,c都是正數，求證：ca例1（1）已知x,y?r，且2x?y?

1，求證：?

第55課：§6.2綜合法和分析法證明不等式《高中數學學案教學方法的研究》課題組編寫 例2已知a>0，b>0，2c>a+b. 求證：c－c2?ab<a<c+c2?ab.

例3若f(x)??x2，a≠b.求證f(a)?f(b)?a?b.

【鞏固練習】

1. 設a?3?2,b??5,c?7?6, 則a,b,c大小順序是

a．a>b>cb．b>c>ac．c>a>bd．a>c>b

2. 設0<a<b,a+b=1,在下列不等式中正確的是

a．b<2ab<a2?b2<a2+b2b．2ab<b<a2+b2<a2?b2

c．2ab<a2+b2<a2?b2<bd．2ab<a2+b2<b<a2?b2

3. a>b>1,p=lgalgb,q=1

2(lga?lgb),r=lg(a?b

2)

a．r<p<qb．p<q<rc．q<p<rd．p<r<q

【本課小結】

【課後作業】

1． 已知：a,b,c為正實數.求證：bc

a?acab

b?c?a?b?c.

11

2． 設x>0,y>0,證明：(x2?y2)2?(x3?y3)3.

3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2

2=1,求證：a?b2≤32

4.

4． 若x、y是正實數,x+y=1，求證：（1+11

x）(1+y)≥9.

- 2-（）（） （）

第五篇：綜合法與分析法證明不等式(一)5

2014—2014學年度第二學期高二數學教案選修4-5不等式第5課時

28 江蘇省鄭樑梅高級中學高二數學教案（理）

主備人：馮龍雲做題人: 顧華章審核人: 曾慶亞

不等式的證明—綜合法和分析法(1)

一、教學目的：

1、 理解綜合法和分析法證明不等式的原理與思維特點；

2、 掌握由學過的基本不等式來證明一些新的不等式。

二、教學重難點：

重難點：綜合法和分析法證明不等式

三、教學方法：通過對比，體會兩種方法的異同，感受不等式證明中思路、方法的多樣性。

四、教學過程：

新課講授：

綜合法證題的思維過程：條件?結論

分析法證題的思維過程：結論?條件

例題講解：

例1、已知a、b是正數，求證：

例2

例3、已知a、b、m均是正數，且a< b，求證：

ab?≥2 baa?ma> b+mb

例4、已知a 、b、c?r，求證：a?b?c≥ab?bc?ca

例5、已知a 、b、c、d?r，求證： a?b

例6、已知a 、b、c是正數，求證：a?b?c≥3abc並指出等號成立的條件

例7、已知a、b、c是不全相等的正數，且abc?1。求證：a?b?c?

五、課堂練習：

（1）xy?0，求證：xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx

28江蘇省鄭樑梅高級中學高二數學作業（理）

班級姓名學號_______

1、設x?r下列式子正確的有

（1）、xg(l1)2xg)(l?

（3）、2?（2）、x2?12x?11（4）、?1x??2 x2?1x

a2?b2aba?b22、若a,b?r，且ab?0，則在①?ab②??2③ab??? 2ba2

a?b2a2?b2

④?這四個式子中，恆成立的個數是??22

3、已知a,b,c均大於1，且logac?logbc?4，則下列式子正確的是

（1）、ac?b（2）、ab?c（3）、bc?a（4）、ab?c

4、設m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?，比較大小：mn____xy

5、若x?3y-1?0，則2?8的最小值為___________

6、比較大小：lg9?lg11______1

三、簡答題：

7、已知a,b,c?r。求證：

8、已知a,b?r且a?b。求證：

?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b

9、已知a、b、c是互不相等的實數。求證：

a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)

10、已知a,b,c?r，且abc?1。求證：(1?a)(1?b)(1?c)?8

11、已知a,b,c?r。求證：

12、已知a、b、c均是正數，且a?b?c?1。求證：（1?a)(1-b)(1-c）?8abc

13、已知a、b、c是不全相等的正數。

求證： a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc

222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc