餘弦定理證明過程(精選多篇)

目錄

第一篇：餘弦定理證明過程第二篇：餘弦定理證明過程第三篇：餘弦定理證明第四篇：餘弦定理的證明方法第五篇：餘弦定理的多種證明更多相關範文

正文

第一篇：餘弦定理證明過程

在△abc中，設bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據b，c，a來表示a。 分析：由於國中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構造直角三角形，在直角三角形內通過邊角關係作進一步的轉化工作，故作cd垂直於ab於d，那麼在rt△bdc中，邊a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用邊角關係表示，db可利用ab－ad轉化為ad，進而在rt△aｄc內求解。

解：過c作cd⊥ab，垂足為d，則在rt△cｄb中，根據勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2

∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2



又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2

∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2

－2c·aｄ 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa ∴a2＝b2＋c2－2bccosa類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc

第二篇：餘弦定理證明過程

餘弦定理證明過程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第三篇：餘弦定理證明

餘弦定理證明

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第四篇：餘弦定理的證明方法

餘弦定理的證明方法

在△abc中，ab=c、bc=a、(我們一定會做的更好：)ca=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在鋭角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過a作ad⊥bc於d，則bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因為cosc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第五篇：餘弦定理的多種證明

餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更為方便、靈活．

對於任意三角形 三邊為a,b,c 三角為a,b,c 滿足性質

a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa

b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosb

c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosc

cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac

cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc

證明：

如圖：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2 （證明中前面所寫的a,b,c皆為向量，^2為平方）拆開即a^2=b^2+c^2-2bc

再拆開，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa

同理可證其他，而下面的cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是將cosa移到右邊表示一下。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

平面幾何證法：

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所對的邊為c，∠b所對的邊為b，∠a所對的邊為a

則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

根據勾股定理可得：

ac^2=ad^2+dc^2

b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2

b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb

b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosb

cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac

從餘弦定理和餘弦函數的性質可以看出,

如果一個三角形兩邊的平方和等於第三

邊的平方,那麼第三邊所對的角一定是直

角,如果小於第三邊的平方,那麼第三邊所

對的角是鈍角,如果大於第三邊,那麼第三邊

所對的角是鋭角.即，利用餘弦定理，可以判斷三角形形狀。 同時，還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。

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