弦切角定理的證明

第一篇：弦切角定理證明

弦切角定理證明

弦切角定理

編輯本段弦切角定義

頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）

如右圖所示，直線pt切圓o於點c，bc、ac為圓o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都為弦切角。

編輯本段弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的一半.弦切角定理證明：

證明一：設圓心為o，連接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半）

∵∠boc=2∠cab(圓心角等於圓周角的兩倍)

∴∠tcb(敬請期待本站更好文章：)=∠cab（定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓周角）

證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點，弧是弦切角∠bac所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o於a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內部.

過a作直徑ad交⊙o於d,

若在優弧m所對的劣弧上有一點e

那麼，連接ec、ed、ea

則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o於d

那麼∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切於點a，∠cba=60°,ab=a求bc長.

解：連結oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等於斜邊的一半)

例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經過點a的⊙o與bc切於點d，與ab，ac分別相交於e，f.

求證：ef∥bc.

證明：連df.

ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc於d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：如圖，δabc內接於⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab於d，mn切⊙o於c，

求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

證明：∵ab是⊙o直徑

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o於c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：bc平分∠ncd.

第二篇：弦切角定理的證明

弦切角定理的證明

弦切角定理：定義弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明

證明：設圓心為o，連接oc，ob，oa。過點a作tp的平行線交bc於d，

則∠tcb=∠cda

∵∠tcb=90-∠ocd

∵∠boc=180-2∠ocd

∴,∠boc=2∠tcb

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o於a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

(2)圓心o在∠bac的內部.

過a作直徑ad交⊙o於d,

那麼

.

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o於d

那麼

2

連接並延長to交圓o於點d，連接bd因為td為切線，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因為td為直徑，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a

3

編輯本段弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）如右圖所示，直線pt切圓o於點c，bc、ac為圓o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都為弦切角。編輯本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的一半.弦切角定理證明：證明一：設圓心為o，連接oc，ob,。∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半）∵∠boc=2∠cab(圓心角等於圓周角的兩倍)∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓周角）證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點，弧是弦切角∠bac所夾的弧.求證：(弦切角定理)證明：分三種情況：(1)圓心o在∠bac的一邊ac上∵ac為直徑，ab切⊙o於a，∴弧cma=弧ca∵為半圓,∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角b點應在a點左側(2)圓心o在∠bac的內部.過a作直徑ad交⊙o於d,若在優弧m所對的劣弧上有一點e那麼，連接ec、ed、ea則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圓心o在∠bac的外部,過a作直徑ad交⊙o於d那麼∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)編輯本段弦切角推論推論內容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等應用舉例例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切於點a，∠cba=60°,ab=a求bc長.解：連結oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等於斜邊的一半)例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經過點a的⊙o與bc切於點d，與ab，ac分別相交於e，f.求證：ef∥bc.證明：連是∠bac的平分線∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc於d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如圖，δabc內接於⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab於d，mn切⊙o於c，求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.證明：∵ab是⊙o直徑∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o於c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.

第三篇：弦切角定理證明方法

弦切角定理證明方法

(1)連oc、oa，則有oc⊥cd於點c。得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。進而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a與ab重合，即ab為⊙o的直徑。

(2)連接bc，且作ce⊥ab於點e。立即可得△abc為rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一題重新證明如下：

首先證明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

連接oa、oc、bc，則有

∠acd+∠aco=90°

=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)

=(1/2)(2∠aco+∠aoc)

=∠aco+(1/2)∠aoc,

所以∠acd=(1/2)∠aoc，

而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圓周角等於圓心角的一半)，

得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，

所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，進而ab為⊙o的直徑。

2

證明一：設圓心為o，連接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半)

∵∠boc=2∠cab(圓心角等於圓周角的兩倍)

∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓周角)

證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點，弧是弦切角∠bac所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o於a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內部.

過a作直徑ad交⊙o於d,

若在優弧m所對的劣弧上有一點e

那麼，連接ec、ed、ea

則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o於d

那麼∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切於點a，∠cba=60°,ab=a求bc長.

解：連結oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等於斜邊的一半)

例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經過點a的⊙o與bc切於點d，與ab，ac分別相交於e，f.

求證：ef∥bc.

證明：連df.

ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc於d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：如圖，δabc內接於⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab於d，mn切⊙o於c，

求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

證明：∵ab是⊙o直徑

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o於c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：bc平分∠ncd.

第四篇：弦切角的逆定理的證明

弦切角逆定理證明

已知角cae=角abc，求證ae是圓o的切線

證明：連接ao並延長交圓o於d，連接cd，

則角adc=角abc=角cae

而ad是直徑，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae

所以角dae=角dac+角cae=90度

故ae為切線

第五篇：弦切角、切割線、相交弦三條圓這一章已刪定理的證明

肯特教育歡迎各位朋友批評指正，王老師18201460373

弦切角、切割線、相交弦

三條圓這一章已刪定理的證明

一、弦切角定理

1、弦切角的定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖（1）所示，ab為圓的一條弦，bc為圓的切線，∠abc即為圓的的弦切角。

圖（1）

bc

2、弦切角定理：弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角，等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半。證明如下：

a

圖（2）

如圖（2）所示，已知ab為⊙o的直徑，bd為過圓上b點的切線，求證：（1）∠cbd=∠cab,∠cbd=∠ceb（2）∠cbd=∠cob 21證明：（1）∵ab為⊙o的直徑，bd為過b點的切線∴ab⊥bd

∴∠abd=90o

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肯特教育歡迎各位朋友批評指正，王老師18201460373∴∠abc＋∠cbd=90°

∵ab為⊙o直徑

∴∠acb=90°

則∠abc＋∠cab=90°

∴∠cbd=∠cab

∵∠cab和∠ceb同弧所對的圓周角∴∠cab=∠ceb

則∠cbd=∠ceb

（2）∵∠cab和∠cob是同弧所對的圓周角和圓心角∴ ∠cab=∠cob 21

又∵∠cbd=∠cab

∴∠cab=∠cob 21

二、切割線定理及推論

1、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。證明如下：

圖（3）

如圖（3）所示，直線pa與圓相切於a點，直線pc與圓相交於b、c兩點，求證：pa2=pb·pc

證明：連結ba、ca

∵pa為圓的切線∴∠pab=∠pca（弦切角定理）

∵∠pab=∠pca，∠bpa=∠apc（公共角）∴△pab∽△pca

∴pa

pc = pb

pa

∴ pa2=pb·pc