高二等比數列的概念、通項公式、性質

高二等比數列的概念、通項公式、性質

教學目標：理解掌握等比數列概念；通項公式的應用，類比等差數列體會性質的生成過程，並熟練應用；

教學重、難點：本節重點在於性質的掌握難點在於通項公式和性質的應用；

1．等比數列的定義

如果一個數列從__第2項__起，每一項與它的前一項的比都等於__同一個常數__，那麼這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的__公比__，公比通常用字母__q__表示．

2．等比數列的遞推公式與通項公式

已知等比數列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，

填表：

3.等比中項

(1)如果三個數x，G，y組成__等比數列__，則G叫做x和y的等比中項．

(2)如果G是x和y的等比中項，那麼__G2＝xy__，即__G＝±__.

1　⇨等比數列的通項公式

例題1已知等比數列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.

解法二：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2.

從而，解之得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1，當a1＝1時，q＝2；當a1＝4時，q＝.故an＝2n－1，或an＝23－n.

⇨等比數列的判定與證明

例題2 已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．

(1)求證{bn}是等比數列；

(2)求{an}的通項公式．

『規律總結』　判定數列是等比數列的常用方法

(1)定義法：＝q(常數)或＝q(常數)(n≥2)⇔{an}為等比數列．

(2)等比中項法a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}為等比數列．

(3)通項法：an＝a1qn－1(其中a1、q為非零常數，n∈N*)⇔{an}為等比數列．

忽視等比中項的符號致錯　

例題.等比數列{an}的前三項的和為168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中項．

等比數列的性質

1．等比數列的項與序號的關係(1)兩項關係通項公式的推廣：an＝am·__qn－m__(m、n∈N*)．(2)多項關係項的運算性質

若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則am·an＝__ap·aq__.特別地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，則am·an＝__a__.

2．等比數列的項的對稱性 有窮等比數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等於首末兩項的積(若有中間項則等於中間項的平方)，即a1·an＝a2·__an－1__＝ak·__an－k＋1__＝a(n為正奇數)．

3．等比數列的運算數列的性質

(1)若{an}是公比為q的等比數列，則①{c·an}(c是非零常數)是公比為__cq__的等比數列；②{|an|}是公比為__|q|__的等比數列．

(2)若{an}、{bn}分別是公比為q1、q2的等比數列，則數列{an·bn}是公比為__q1·q2__的等比數列．4．等比數列的單調性

(1)當a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時，等比數列{an}為遞__增__數列；

(2)當a1>0,0<q<1或a1<0，q>1時，等比數列{an}為遞__減__數列；

(3)當q＝1時，數列{an}是常數列；(4)當q<0時，數列{an}是擺動數列．

『規律總結』　(1)若{an}為等比數列，則{}，{|an|}，{a}，{pan}(p≠0)，{anan＋k}均為等比數列；(2)若{an}，{bn}均為等比數列，則{anbn}，{}都是等比數列．

(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq.

(4)若等比數列的下標具有某種規律時，應考慮應用性質求解．

『規律總結』　等比數列中的設項方法與技巧

(1)若三個數成等比數列，可設三個數為a，aq，aq2或，a，aq.

(2)若四個數成等比數列，可設為a，aq，aq2，aq3；若四個數均為正(負)數，可設，，aq，aq3.忽視等比數列中奇數項符號相同、偶數項符號相同而致錯　

例題3已知－7，a1，a2，－1四個實數成等差數列，－4，b1，b2，b3，－1五個實數成等比數列，求的值．