極限證明(精選多篇)

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第一篇：極限證明

極限證明

1.設f(x)在(??,??)上無窮次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求證當k?n?1時，?x， limf(k)(x)?0． x???

2.設f(x)??0sinntdt，求證：當n為奇數時，f(x)是以2?為週期的周期函數；當n為

偶數時f(x)是一線性函數與一以2?為週期的周期函數之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.設f(x)在(??,??)上無窮次可微；f(0)f?(0)?0xlim求證：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求證limf(x)存在． 4.設f(x)在(a,??)上連續，且xlim???x???

5.設a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權限limn??xn存在並求極限值。

6.設xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x. n??xn??n

7.用肯定語氣敍述：limx???f?x????.

8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。 an?1

t?x9.設函數f定義在?a,b?上，如果對每點x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當x?a或b時，

為單側極限）。證明：函數f在?a,b?上有界。

10.設limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?. n??2n2

11.敍述數列?an?發散的定義，並證明數列?cosn?發散。

12.證明：若???

af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.

11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

14.證明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是與n無關的常數，limn???n?0.

15.設f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個數列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.

16.設f?u?具有連續的導函數，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

?r?0?.

?1?證明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2

r??

17.設f?x?於[a,??)可導，且f'?x??c?0?c為常數?,證明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?於[a,??)必有最小值。

18.設limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n語言證明lim

ana?.

n???bbn

?sn?x??19.設函數列?sn?x??的每一項sn?x?都在x0連續，u是以x0為中心的某個開區間，

在u??x0?內閉一致收斂於s?x?,又limn??sn?x0????,證明：lims?x????.

x?x0

20.敍述並證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?

??a

23.設?

f(x)= 0. 證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續，???

24.設a1>0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設f?x?在a的某領域內有定義且有界，對於充分小的h，m?h?與m?h?分別表示f?x?在

?a?h,a?h?上的上、下確界，又設?hn?是一趨於0的遞減數列，證明：

1）limn??m?hn?與limn??m?hn?都存在；

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?(本文來源本站)a處連續的充要條件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26設?xn?滿足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。

27.設an?a,用定義證明:limn???an?a

28.設x1?0，xn?1?

31?xn

,(n?1,2,?)，證明limxn存在並求出來。

n??3?xn

29.用“???語言”證明lim30.設f(x)?

(x?2)(x?1)

x?1x?3

x?2

，數列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求證：limxn?2。

31.設fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求證：

（a）對任意自然數n，方程fn(x)?1在[0,?/3)內有且僅有一個正根；

（b）設xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，則limxn??/3。

n??

32.設函數f(t)在(a,b)連續，若有數列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??)，則對a，b之間的任意數?，

可找到數列xn?a，使得limf(zn)??

33.設函數f在[a,b]上連續，且

f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a

，試證明：n

lnf(x)dx}(n??)並利用上述等式證明下?ab?a

式

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

b?a

34.設f‘(0)?k,試證明lim

a?0?b?0?

35.設f(x)連續，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

論?'(x)在x?0處的連續性。

f(x)

，求?'(x)，並討?a（常數）

36．給出riemann積分?af(x)dx的定義，並確定實數s的範圍使下列極限收斂

lim?()s。 n??ni?0n

?x322

,x?y?0?2

37.定義函數f?x???x?y2. 證明f?x?在?0,0?處連續但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

38.設f是?0,??上有界連續函數，並設r1,r2,?是任意給定的無窮正實數列，試證存在無窮正實數列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.

39.設函數f?x?在x?0連續，且limx?0

f?2x??f?x??a,求證：f'?0?存在且等於a.

40.無窮數列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.

n??ni?1

41.設f是?0,??上具有二階連續導數的正函數，且f'?x??0,f''有界，則limt??f'?t??0

42.用???分析定義證明limt??1

x?31

? x2?92

43.證明下列各題

?1?設an??0,1?，n?1,2,?,試證明級數?2nann?1?an?n收斂；

n?1

?2?設?an?為單調遞減的正項數列，級數?n2014an收斂，試證明limn2014an?0;

n??

n?1

?3?設f?x?在x?0附近有定義，試證明權限limx?0f?x?存在的充要條件是：對任何趨於0的數列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.

?1?44.設?an?為單調遞減數列的正項數列，級數?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1?

a?1。 45.設an?0，n=1,2， an?a?0,(n??),證 limn

n??

46.設f為上實值函數，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕

limf（x）存在且小於1＋。

x?＋?4

，證明x?1）2

x2＋f（x）

47.已知數列{an}收斂於a，且

a?a???asn?，用定義證明{sn}也收斂於a

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求證?0,???內存在一個單

x??x

調數列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.設f?x???2,確定常數a,b,c,使得f''?x?在???,??處處存在。

??ax?bx?c,x?0

第二篇：極限的證明

極限的證明

利用極限存在準則證明：

(1)當x趨近於正無窮時，(inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收斂，並求其極限。

1)用夾逼準則:

x大於1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(inx/x^2)的極限為0

2)用單調有界數列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,xn-x(n-1)=/2<0,單調遞減

且xn=/2>√a,√a為數列下界,則極限存在.

設數列極限為a,xn和x(n-1)極限都為a.

對原始兩邊求極限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0<√a時,極限亦為√a

綜上,數列極限存在,且為√

(一)時函數的極限：

以時和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有於是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然後介紹等的幾何意義.

例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關係:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例説明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.

利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關於的有理分式當時的極限.

例4

例5例6例7

第三篇：數列極限的證明

數列極限的證明

x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，並求該極限

求極限我會

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此類推，改變數列下標可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

只要證明{x(n)}單調增加有上界就可以了。

用數學歸納法：

①證明{x(n)}單調增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

設x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

當0

構造函數f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

所以，對於數列n*a^n，其極限為0

用數列極限的定義證明

3.根據數列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數列極限的證明題，幫個忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等於無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數列極限變成函數極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以後會學的)

第三題，n趨於無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第四篇：函數極限的證明

函數極限的證明