二元函數極限證明

目錄

第一篇：二元函數極限證明第二篇：二元函數的極限第三篇：二元函數極限的研究第四篇：二元函數的極限與連續第五篇：函數極限的證明更多相關範文

正文

第一篇：二元函數極限證明

二元函數極限證明

設p=f(x,y),p0=(a,b)，當p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向於a,b時所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先後相繼地趨於a,b時的極限,稱為二次極限。

我們必須注意有以下幾種情形：’

(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在

(2)兩個二次極限存在而不相等

(3)兩個二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在

2

函數f(x)當x→x0時極限存在，不妨設：limf(x)=a(x→x0)

根據定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當|x-x0|<δ時,有|f(x)-a|<ε

而|x-x0|<δ即為x屬於x0的某個鄰域u(x0;δ)

又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1

再取m=max{|a-1|,|a+1|},則有:存在δ>0,當任意x屬於x0的某個鄰域u(x0;δ)時,有|f(x)|

證畢

3首先，我的方法不正規，其次，正確不正確有待考察。

1，y以y=x^2-x的路徑趨於0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨於0結果是無窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟書上是這麼説的，二元函數在該點極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向於該點。

4

f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

當x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在

而當x->0,y->0時

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2

所以|f|<=|x|+|y|

所以顯然當x->0,y->0時，f的極限就為0

這個就是你説的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你説的

正無窮或負無窮或無窮，我想這個就可以了

就我這個我就線了好久了

5

(一)時函數的極限：

以時和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有於是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然後介紹等的幾何意義.

例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關係:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例説明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.

利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關於的有理分式當時的極限.

例4

例5例6例7

第二篇：二元函數的極限

§2 二元函數的極限

(一) 教學目的：

掌握二元函數的極限的定義，瞭解重極限與累次極限的區別與聯繫．

(二) 教學內容：二元函數的極限的定義；累次極限．

基本要求：

(1)掌握二元函數的極限的定義，瞭解重極限與累次極限的區別與聯繫，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2) 較高要求：掌握重極限與累次極限的區別與聯繫，能用來處理極限存在性問題．

(三) 教學建議：

(1) 要求學生弄清一元函數極限與多元函數極限的聯繫與區別，教會他們求多元函數極

限的方法．

(2) 對較好學生講清重極限與累次極限的區別與聯繫，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數的極限

先回憶一下一元函數的極限： limf(x)?a 的“???” 定義(c31)：

x?x0

0設函數f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內由定義，如果對

???0,當 x?u(x0,?)，即 |x?x0|?? 時，都有 |f(x)?a|??，???0,???1，

則稱x?x0時，函數f(x)的極限是 a.

類似的，我們也可以定義二元函數的極限如下：

設二元函數f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數，在點p0(x0,y0)為d的一個聚點，

a是一個確定的常數，如果對 ???0,???0，使得當 p(x,y)?u(p0,?)?d 時，0都有 |f(p)?a|??，則稱f在d上當 p?p0時，以a為極限。記作

p?p0p?dlimf(p)?a

也可簡寫為limf(p)?a或

p?p0(x,y)?(x0,y0)

2limf(x,y)?a 例1用定義驗證

2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7 222證明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|

?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|

限制在 （2，1）的鄰域 {(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1}

|x?3|?6,

|x?y?1|?6

取 ??min{1,?/6}，則有

|x?xy?y|??

由二元函數極限定義lim

(x,y)?(2,1)

(x?xy?y)?7

22

22

?x?y

,(x,y)?(0,0)?xy22

例2 f(x,y)??x?y，

?0,(x,y)?(0,0)?

證明lim

(x,y)?(0,0)

f(x,y)?0

x?yx?y

22

22

證|f(x,y)|?|xy

所以

lim

(x,y)?(0,0)

|?|xy|

lim

(x,y)?(0,0)

|f(x,y)|?lim

(x,y)?(0,0)

|xy|?0

|f(x,y)|?0

對於二元函數的極限的定義，要注意下面一點：

p?p0

limf(p)?a 是指： p(x,y)以任何方式趨於p0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨於p0(x0,y0) 時，f(x,y)必須趨於同一確定的常數。

對於一元函數，x 僅需沿x軸從x0的左右兩個方向趨於x0，但是對於二元函數，p趨於p0的路線有無窮多條，只要有兩條路線，p趨於p0時，函數f(x,y)的值趨於不同的常數，二元函數在p0點極限就不存在。

?1,0?y?x2

例1 二元函數f(x,y)??

?0,rest

請看圖像（x62），儘管p(x,y)沿任何直線趨於原點時f(x,y)都趨於零，但也不能説該函數在原點的極限就是零，因為當p(x,y)沿拋物線 y?kx,0?k?1時， f(x,y)的值趨於１而不趨於零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限 ).?x2y

,?

例2設函數f(x,y)??x2?y2

?0,?

(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

求證limf(x,y)?0

x?0

y?0

證明因為|f(x,y)?0|?

x|y|x?y

?

x|y|x

?|y|

所以， 當 (x,y)?(0,0)時， f(x,y)?0。

請看它的圖像，不管p(x,y)沿任何方向趨於原點，f(x,y)的值都趨於零。

通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩

p?p0

個方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關 .

但應注意 ,沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在. 例3

設函數

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

?xy

,?22

f(x,y)??x?y

?0,?

證明函數 f(x,y)在原點處極限不 存在。

證明儘管 p(x,y)沿 ｘ軸和ｙ軸

趨於原點時 (f(x,y)的值都趨於零， 但沿直線y?mx 趨於原點時

x?mxx?(mx)

f(x,y)??

mx

22

(1?m)x

?

m1?m

沿斜率不同的直線趨於原點時極限不一樣，請看它的圖象, 例１沿任何路線趨於原點時，

極

限都是0，但例２沿不同的路線趨於原點時，函數趨於不同的值，所以其極限不存在。

例4

非正常極限極限

lim

(x,y)?(x0,y0)

判別函數f(x,y)?

xy?1?1x?y

在原點是否存在極限.

f(x,y)???的定義:

12x?3y

例1設函數f(x,y)?證明limf(x,y)??

x?0y?0

證|

12x?3y

|?|

13(x?y)

|

只要取??

16m

|x?0|??,|y?0|??時，都有

|

12x?3y16?

22

|?|

13(x?y)

|

??m

12x?3y

請看它的圖象，因此是無窮大量。

例2求下列極限: i)

lim

xyx?y

22

;ii)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)?(0,0)

lim

xy?1?1xy

;iv)

(x,y)?(0,0)

lim

ln(1?x?y)

x?y

22

.

二.累次極限: 累次極限

前面講了p(x,y)以任何方式趨於p0(x0,y0)時的極限，我們稱它為二重極限，對於兩個自變量x,y依一定次序趨於x0,y0時 f(x,y)的極限，稱為累次極限。 對於二元函數f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

y?y0x?x0

x?x0y?y0

例1

f(x,y)?

xyx?yx?yx?y

222

, 求在點( 0 , 0 )的兩個累次極限.

22

例2 f(x,y)?, 求在點( 0 , 0 )的兩個累次極限 .

例3 f(x,y)?xs(請你支持：)in

1y

?ysin

1x

, 求在點( 0 , 0 )的兩個累次極限 .

二重極限與累次極限的關係:

（１）兩個累次極限可以相等也可以不相等，所以計算累次極限時一定要注意不能隨意改變它們的次序 。

例函數 f(x,y)?

x?y?x?y

x?y

22

的兩個累次極限是 y?yyx?xx

22

limlim

x?y?x?y

x?yx?y?x?y

x?y

y?0x?0

?lim

y?0

?lim(y?1)??1

y?0

?lim(x?1)?1

x?0

limlim

x?0y?0

?lim

x?0

（２） 兩個累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在 例f(x,y)?

xyx?y

xyx?y

， 兩個累次極限都存在

limlim

y?0x?0

?0,limlim

xyx?y

x?0y?0

?0

但二重極限卻不存在，事實上若點p(x,)沿直線 y?kx趨於原點時，

kx

f(x,y)?

x?(kx)

?

k1?k

二重極限存在也不能保證累次極限存在

二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在.例函數 f(x,y)?xsin

1y?ysin

1x

由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,( x ,y)?(0,0).可見二重極限存在 ,但

1x

limsin

x?0

和limsin

y?0

1y

不存在，從而兩個累次極限不存在。

（4）二重極限極限lim

(x,y)?(x0,y0)

f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

x?x0y?y0

在 , 則必相等.( 證 )

（5）累次極限與二重極限的關係

若累次極限和二重極限都存在， 則它們必相等

第三篇：二元函數極限的研究

二元函數極限的研究

作者：鄭露遙指導教師：楊翠

摘要 函數的極限是高等數學重要的內容，二元函數的極限是一元函數極限的基礎上發展起來的，本文討論了二元函數極限的定義、二元函數極限存在或不存在的判定方法、求二元函數極限的方法、簡單討論二元函數極限與一元函數極限的關係以及二元函數極限複雜的原因、最後討論二重極限與累次極限的關係。

關鍵詞 二元函數極限、累次極限、二重極限、連續性、判別法、洛必達法則、運算定理

1 引言

函數的極限是高等數學中非常重要的內容, 關於一元函數的極限及其求法, 各種教材中都有詳盡的説明。二元函數極限是在一元函數極限的基礎上發展起來的, 兩者之間既有聯繫又有區別。例如, 在極運算法則上, 它們是一致的, 但隨着變量個數的增加, 二元函數極限比一元函數極限變得複雜得多, 但目前的各類教材、教學參考書中有關二元函數極限的求法介紹不夠詳二元函數的極限是反映函數在某一領域內的重要屬性的一個基本概念, 它刻劃了當自變量趨向於某一個定值時, 函數值的變化趨勢。是高等數學中一個極其重要的問題。但是, 一 般來説, 二元函數的極限比起一元函數的極限, 無論從計算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數極限的問題作如下探討求一元函數的極限問題, 主要困難多數集中於求未定型極限問題, 而所有未定型的極限又總可轉化為兩類基本型即00 與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(lho sp ital) 法則。類似地, 二元函數基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達法則。為了敍述上的方便, 對它的特殊情形(即(x0,y0) = (0, 0) ) 作出如下研究, 並得到相應的法則與定理 。二元函數的極限是反映函數在某一領域內的重要屬性的 一個基本概念, 它刻劃了當自變量趨向於某一個定值時, 函數

值的變化趨勢。是高等數學中一個極其重要的問題。但是, 一

般來説, 二元函數的極限比起一元函數的極限, 無論從計算還

是證明都具有更大的難度。本文就二元函數極限的問題作如

下探討。

第四篇：二元函數的極限與連續

§2.3 二元函數的極限與連續

定義

設二元函數有意義, 若存在

常數a,

都有

則稱a是函數當點 趨於點

或

或

趨於點時的極限,記作

。

的方式無關,即不,當（即）時，在點的某鄰域內或

必須注意這個極限值與點

論p以什麼方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向

分接近, 就能 使。只要p與 充與a 接近到預先任意指定的程度。注意：點p趨於點點方式可有無窮多

種,比一元函數僅有左,右兩個單側極限要複雜的多（圖8-7）。

圖8-7

同樣我們可用歸結原則,若發現點p按兩個特殊的路徑趨於點時,

極限

在該點

存在,但不相等, 則可以判定元函數極限不 存在的重要方法之一。

極限不存在。這是判斷多

一元函數極限中除了單調有界定理外,其餘的有關性質和結論, 在二元函數極

限理論中都適用，在這裏就不一一贅述了。例如若

有

, 其中

。

求多元函數的極限, 一般都是轉化為一元函數的極限來求, 或利用夾逼定理

來計算。例4 求。解由於

,

而

,根據夾逼定理知

,所以 。

a≠0)

。

解

例

求

（

。例6 求。解

由於理知

且,所以根據夾逼定

.例7

研究函數

在點

處極限是否存在。解當x2

+y2≠0時，我們研究函數，沿x→0,y=kx→0這一方式趨於

（0，0

）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限

不存在,但

,。很顯然，對於不同的k

。

注意：極限方式的

的區別, 前面兩個求

本質是兩次求一元函數的極限, 我們稱為累次極限, 而最後一個是求二元函數的

極限,我們稱為求二重極限。

例8

設函數極限都不存在,因

為對任何

,當

時

,

。它關於原點的兩個累次

的第二項不存在極限；同理對任何

時, 的第 一項也不存在極限,

但是因此

。

由例7知, 兩次累次極限存在, 但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結果:定理1 若累次極限

都存在,則

三者相等（證明略）。推論

若但不相等,

則二重極限

不

存在

和二重極

限

,

由於

,

存在。定義 設

在點的某鄰域內有意義,

且稱

函

數

,則

在

點

處

連

續

,

記

上式稱為函數(值)的全增

量

。

則。

定義

增量。

為函數(值)對x的偏

二元函數連續的定義可寫為

偏增量。

若

斷點, 若

在點

為函數（值）對y的

處不連續,

則稱點

是

的間

在某區域

在區域g上連續。若

在閉區域g

g上每一點都連續,則稱的每一內點都連 續,並在g的連界點

處成立

,

則稱

為連續曲面。

在閉域g上連續。閉域上連續的二元函數的圖形稱

關於一元函數連續的有關性質, 如最值定理、介值定理、cantor

定理,對於

二元函數也相應成立。可以證明如下的重要結果：定理2設

在平面有界閉區域g上連續,則

（1）必在g上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2

）

,當

時,都有

。以上關於二元函數的

在g上一致連續,即

極限和連續的有關性質和結論在n元函數中仍然成立。

第五篇：函數極限的證明

函數極限的證明

(一)時函數的極限：

以時和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有於是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然後介紹等的幾何意義.

例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關係:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例説明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.

利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關於的有理分式當時的極限.

例4

例5例6例7

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