中心極限定理證明

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正文

第一篇：中心極限定理證明

中心極限定理證明

一、例子

高爾頓釘板試驗.

圖中每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由於釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子後以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似於正態分佈.

如果定義:當第次碰到釘子後滾向右邊,令;當第次碰到釘子後滾向左邊,令.則是獨立的,且

那麼由圖形知小珠最後的位置的分佈接近正態.可以想象,當越來越大時接近程度越好.由於時,.因此,顯然應考慮的是的極限分佈.歷史上德莫佛第一個證明了二項分佈的極限是正態分佈.研究極限分佈為正態分佈的極限定理稱為中心極限定理.

二、中心極限定理

設是獨立隨機變量序列,假設存在,若對於任意的,成立

稱服從中心極限定理.

設服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數列.

解:服從中心極限定理,則表明

其中.由於,因此

故服從中心極限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

在重貝努裏試驗中,事件在每次試驗中出現的概率為為次試驗中事件出現的次數,則

用頻率估計概率時的誤差估計.

由德莫佛—拉普拉斯極限定理,

由此即得

第一類問題是已知,求,這隻需查表即可.

第二類問題是已知,要使不小於某定值,應至少做多少次試驗?這時利用求出最小的.

第三類問題是已知,求.

解法如下:先找,使得.那麼,即.若未知,則利用,可得如下估計:.

拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現六點的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?

解:由例4中的第二類問題的結論,.即.查表得.將代入,便得.由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準確得多.

已知在重貝努裏試驗中,事件在每次試驗中出現的概率為為次試驗中事件出現的次數,則服從二項分佈:

的隨機變量.求.

解:

因為很大,於是

所以

利用標準正態分佈表,就可以求出的值.

某單位內部有260架電話分機,每個分機有0.04的時間要用外線通話,可以認為各個電話分機用不用外線是是相互獨立的,問總機要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.

解:以表示第個分機用不用外線,若使用,則令;否則令.則.

如果260架電話分機同時要求使用外線的分機數為,顯然有.由題意得,

查表得,,故取.於是

取最接近的整數,所以總機至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.

根據孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結紅果植株和結黃果植株的比率為3:1,現在種植雜交種400株,試求結黃果植株介於83和117之間的概率.

解:將觀察一株雜交種的果實顏色看作是一次試驗,並假定各次試驗是獨立的.在400株雜交種中結黃果的株數記為,則.

由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有

其中,即有

四、林德貝格-勒維中心極限定理

若是獨立同分布的隨機變量序列,假設,則有

證明:設的特徵函數為,則

的特徵函數為

又因為,所以

於是特徵函數的展開式

從而對任意固定的,有

而是分佈的特徵函數.因此,

成立.

在數值計算時,數用一定位的小數來近似,誤差.設是用四捨五入法得到的小數點後五位的數,這時相應的誤差可以看作是上的均勻分佈.

設有個數,它們的近似數分別是,.,.令

用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,

以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有

設為獨立同分布的隨機變量序列,且互相獨立,其中,證明:的分佈函數弱收斂於.

證明:為獨立同分布的隨機變量序列,且互相獨立,所以仍是獨立同分布的隨機變量序列,易知有

由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分佈函數弱收斂於,結論得證.

作業:

p222ex32,33,34,35

五、林德貝爾格條件

設為獨立隨機變量序列,又

令,對於標準化了的獨立隨機變量和

的分佈

當時,是否會收斂於分佈?

除以外,其餘的均恆等於零,於是.這時就是的分佈函數.如果不是正態分佈,那麼取極限後,分佈的極限也就不會是正態分佈了.因而,為了使得成立,還應該對隨機變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其餘的均恆等於零,在和式中,只有一項是起突出作用.由此認為,在一般情形下,要使得收斂於分佈,在的所有加項中不應該有這種起突出作用的加項.因為考慮加項個數的情況,也就意味着它們都要“均勻地斜.

設是獨立隨機變量序列,又,,這時

(1)若是連續型隨機變量,密度函數為,如果對任意的,有

(2)若是離散型隨機變量,的分佈列為

如果對於任意的,有

則稱滿足林德貝爾格條件.

以連續型情形為例,驗證:林德貝爾格條件保證每個加項是“均勻地斜.

證明:令,則

於是

從而對任意的,若林德貝爾格條件成立,就有

這個關係式表明,的每一個加項中最大的項大於的概率要小於零,這就意味着所有加項是“均勻地斜.

六、費勒條件

設是獨立隨機變量序列,又,,稱條件為費勒條件.

林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費勒指出若費勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.

七、林德貝爾格-費勒中心極限定理

引理1對及任意的,

證明:記,設,由於

因此,,其次,對,

用歸納法即得.

由於,因此,對也成立.

引理2對於任意滿足及的複數,有

證明:顯然

因此,

由歸納法可證結論成立.

引理3若是特徵函數,則也是特徵函數,特別地

證明定義隨機變量

其中相互獨立,均有特徵函數,服從參數的普哇鬆分佈,且與諸獨立,不難驗證的特徵函數為,由特徵函數的性質即知成立.

林德貝爾格-費勒定理

定理設為獨立隨機變量序列,又.令,則

(1)

與費勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.

證明:(1)準備部分

記

(2)

顯然(3)

(4)

以及分別表示的特徵函數與分佈函數,表示的分佈函數,那麼(5)

這時

因此林德貝爾格條件化為:對任意,

(6)

現在開始證明定理.設是任意固定的實數.

為證(1)式必須證明

(7)

先證明,在費勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價的:

(8)

事實上,由(3)知,又因為

故對一切,

把在原點附近展開,得到

因若費勒條件成立,則對任意的,只要充分大,均有

(9)

這時

(10)

對任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因為可以任意小,故左邊趨於0,因此,證得(7)與(8)的等價性.

(2)充分性

先證由林德貝爾格條件可以推出費勒條件.事實上,

(13)

右邊與無關,而且可選得任意小;對選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當足夠大時,也可以任意地小,這樣,費勒條件成立.

其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,

當時,

當時,

因此

(14)

對任給的,由於的任意性,可選得使,對選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由於已證過費勒條件成立,這時(8)與(7)是等價的,因而(7)也成立.

(3)必要性

由於(1)成立,因此相應的特徵函數應滿足(7).但在費勒條件成立時,這又推出了(8),因此,

(15)

上述被積函數的實部非負,故

而且

(16)

因為對任意的,可找到,使,這時由(15),(16)可得

故林德貝爾格條件成立.

八、李雅普諾夫定理

設為獨立隨機變量序列,又.令,若存在,使有

則對於任意的,有

第二篇：大數定理中心極限定理證明

一，大數定律的證明

二，中心極限定理的證明

第三篇：中心極限定理

§5.3中心極限定理

我們曾特別強調了正態分佈在概率論與數理統計中的地位與作用.為什麼客觀實際中許多隨機變量服從正態分佈?是經驗猜測還是確有科學的理論依據，下面我們就來解釋這一問題.

我們已經知道，炮彈的彈着點射擊誤差服從正態分佈，我們來分析其原因.要知道誤差是什麼樣的隨機變量，有必要研究一下造成誤差的原因是什麼?每次射擊後，炮彈會因為震動而造成很微小的偏差x1，炮彈外形細小的差別而引起空氣阻力不同而出現的誤差x2，炮彈前進時遇到的空氣流的微小擾動而造成的誤差x3，……等等，有許多原因，每種原因引起一個微小的誤差都是隨機的，而彈着點的總誤差x是許多隨機誤差的總和，即x=?xk,而且xk之間可以看成是相互獨立的，因此要討論x的分佈就要討論這些相互獨

k

立的隨機變量之和的分佈.

在概率論中，我們把研究在一定條件下，大量獨立隨機變量和的極限分佈是正態分佈的那些定理通常叫做中心極限定理.本節只介紹兩個條件簡單，也較常用的中心極限定理.

定理4（同分布中心極限定理）設隨機變量x1，x2，…,xn…相互獨立，服從同一分佈，且具有有限的數學期望和方差，e(xk)=?,d(xk)=???(k=1,2,…)則隨機變量

2?xk-n? k=1

?n的分佈函數對任意的x，滿足

n?? n?? ?xk-n? k=1 ?n?x1 ?2 ?? e-? x t2

2dt

第四篇：中心極限定理應用

中心極限定理及其應用

【摘要】中心極限定理的產生具有一定的客觀背景，最常見的是德莫佛-拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。它們表明了當n充分大時，方差存在的n個獨立同分布的隨機變量和近似服從正態分佈，在實際中的應用相當廣泛。本文討論了中心極限定理的內容、應用與意義。

【關鍵詞】：中心極限定理 正態分佈 隨機變量

一、概述

概率論與數理統計是研究隨機現象、統計規律性的學科。隨機現象的規律性只有在相同條件下進行大量重複的實驗才會呈現出來，而研究大量的隨機現象常常採用極限的形式，由此導致了對極限定理的研究。極限定理的內容很廣泛，中心極限定理就是其中非常重要的一部分內容。中心極限定理主要描述了在一定條件下，相互獨立的隨機變量序列x1、x2、…xn、…的部分和的分佈律：當n→∞時的極限符合正態分佈。因此中心極限定理這個結論使正態分佈在數理統計中具有很重要的地位，也使得中心極限定理有了廣泛的應用。

二、定理及應用

1、定理一（林德貝格—勒維定理）

若?

k1，=a,?2，…是一列獨立同分布的隨機變量，且e?d?

k=k??x2(?2>0) ,k=1,2,…則有limp(k?1

n????n?na?x)??n

n12???e?t22dt。

當n充分大時，??k?1k?na

?n~n（0,1），k?1??nk~n（na,n?） 2

2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理）

在n重伯努利試驗中,事件a在每次試驗中出現的概率為錯誤！未找到引用源。, 錯誤！未

?找到引用源。為n次試驗中事件a出現的次數,則limp(n??n?npnpq?x)??2?1x??e?t22dt

其中q?1?p。這個定理可以簡單地説成二項分佈漸近正態分佈，因此當n充分大時，可

以利用該定理來計算二項分佈的概率。

同分佈下中心極限定理的簡單應用

獨立同分布的中心極限定理可應用於求隨機變量之和sn落在某區間的概率和已知隨機變量之和sn取值的概率，求隨機變量的個數。

例1：設各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立且服從相同的分佈，其數學期望為0.5kg，均方差為0.1kg，問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少?

解：設xi(i=1，2，…，5000)表示第i個零件的重量x1，x2，…，x5000獨立同分布且e(xi)=0.5，d(xi)=0.12。

由獨立同分布的中心極限定理可知

[3]

=i-φ（1.414）=1-0.9215

=0.0785

例2：一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的且同分布，設每箱平均重50kg，標準差為5kg，若用最大載重為50噸的汽車承運，每輛車最多可以裝多少箱才能保證不超載的概率大於0.977？

解：設xi(i=1，2，…，n)是裝運第i箱的重量，n為所求箱數。由條件可把x1，x2，…，xn看作獨立同分布的隨機變量，而n箱的總重量為tn=x1+x2+…+xn，是獨立同分布的隨機變量之和。

由e(xi)=50、d(xi)=52得：e(tn)=50n，d(tn)=52n

根據獨立同分布的中心極限定理：

[3]

即最多可以裝98箱。

例3：報名聽心理學課程的學生人數k是服從均值為100的泊松分佈的隨機變量，負責這門課的教授決定，如果報名人數不少於120，就分成兩班，否則就一班講授。問該教授講授兩個班的概率是多少?

分析：該教授講授兩個班的情況出現當且僅當報名人數x不少於120，精確解為p（x≥120）=e-100 100i/i！很難求解，如果利用泊松分佈的可加性，想到均值為100的泊松分佈隨機變量等於100個均值為1的獨立泊松分佈隨機變量之和，即x= xi，其中每個xi具有參數1的泊松分佈，則我們可利用中心極限定理求近似解。 [2]

解：可知e(x)=100，d(x)=100

教授講授兩個班的概率是0.023。

例4：火炮向目標不斷地射擊，若每次射中目標的概率是0、1。

(1)求在400次射擊中擊中目標的次數在區間［30，50］內的概率。

(2)問最少要射擊多少次才能使擊中目標的次數超過10次的概率不小於0.9？

分析：顯然火炮射擊可看作是伯努利實驗。 [1]即

我們知道，正態分佈可近似於二項分佈，而且泊松分佈可近似於二項分佈，當二項分佈b(n，p)，n較大、p較小時可用泊松分佈估計近似值。如果p接近1，有q=l-p很小，這時也可用泊松分佈計算；但是當n較大，p不接近0或1時，再用泊松分佈估計二項分佈的概率就不夠精確了，這時應採用拉普拉斯定理來計算。

解：(1)設在射擊中擊中目標的次數為yn，所求概率(30≤yn<50)等於：

最小正整數n=147就是所要求的最小射擊數。

以上例子都是獨立同分布的隨機變量，可以用中心極限定理近似估算，但是如果不同分佈，中心極限定理是否也成立呢?

李雅普諾夫定理

當隨機變量xi獨立，但不一定同分布時，中心極限定理也成立。定理3[2](李雅普諾夫定理)：

設x1，x2，…，xn，…為獨立隨機變量序列，且e(xn)=an，d(xn)=σn2存在，bn2= σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：

也就是説，無論各個隨機變量xi服

從什麼分佈，只要滿足李雅普諾夫條件，當n很大時，它們的和近似服從正態分佈。 由於在大學本科階段接觸的不同分佈的樣本較少，本文對它的應用將不舉例説明。

中心極限定理以嚴格的數學形式闡明瞭在大樣本條件下，不論總體的分佈如何，樣本均值總是近似地服從正態分佈。正是這個結論使得正態分佈在生活中有着廣泛的應用。

四、中心極限定理的意義

首先，中心極限定理的核心內容是隻要n足夠大，便可以把獨立同分布的隨機變量和的標準化當作正態變量，所以可以利用它解決很多實際問題，同時這還有助於解釋為什麼很多自然羣體的經驗頻率呈現出鐘形曲線這一值得注意的事實，從而正態分佈成為概率論中最重要的分佈，這就奠定了中心極限定理的首要功績。其次，中心極限定理對於其他學科都有着重要作用。例如數理統計中的參數（區間）估計、假設檢驗、抽樣調查等；進一步，中心極限定理為數理統計在統計學中的應用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關鍵在於掌握樣本特徵

值的抽樣分佈，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特徵值就近似服從正態分佈。從而，只要採用大量觀察法獲得足夠多的隨機樣本數據，幾乎就可以把數理統計的全部處理問(更多內容請訪問好範 文網)題的方法應用於統計學，這從另一個方面也間接地開闢了統計學的方法領域，其在現代推斷統計學方法論中居於主導地位。 參考文獻

[1]鄧永錄 著 應用概率及其理論基礎.清華大學出版社。

[2]魏振軍 著 概率論與數理統計三十三講.中國統計出版社。

[3]程依明 等 著 概率論與數理統計習題與解答.高等數學出版社。

第五篇：中心極限定理

中心極限定理

中心極限定理（central limit theorems）

什麼是中心極限定理

大數定律揭示了大量隨機變量的平均結果，但沒有涉及到隨機變量的分佈的問題。而中心極限定理説明的是在一定條件下，大量獨立隨機變量的平均數是以正態分佈為極限的。

中心極限定理是概率論中最著名的結果之一。它提出，大量的獨立隨機變量之和具有近似於正態的分佈。因此，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助於解釋為什麼有很多自然羣體的經驗頻率呈現出鐘形(即正態)曲線這一事實，因此中心極限定理這個結論使正態分佈在數理統計中具有很重要的地位，也使正態分佈有了廣泛的應用。

中心極限定理的表現形式

中心極限定理也有若干個表現形式，這裏僅介紹其中四個常用定理：

（一）辛欽中心極限定理

設隨機變量相互獨立，服從同一分佈且有有限的數學期望a和方差σ2，則

隨機變量，在n無限增大時，服從參數為a

和的正態分佈即n→∞時，

將該定理應用到抽樣調查，就有這樣一個結論：如果抽樣總體的數學期望a和方差σ2是有限的，無論總體服從什麼分佈，從中抽取容量為n的樣本時，只要n足夠大，其樣本平均數的分佈就趨於數學期望為a，方差為σ2 / n的正態分佈。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心極限定理

設μn是n次獨立試驗中事件a發生的次數，事件a在每次試驗中發生的概率為p，則當n無限大時，頻率設μn / n

趨於服從參數為的正態分佈。即：

該定理是辛欽中心極限定理的特例。在抽樣調查中，不論總體服從什麼分佈，只要n充分大，那麼頻率就近似服從正態分佈。

（三）李亞普洛夫中心極限定理

設

差：是一個相互獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數學期望和方

。

記，如果能選擇這一個正數δ>0，使當n→∞

時，

，則對任意的x有：

該定理的含義是：如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素影響所造成的，而每一個別因素在總影響中所起的作用不很大，則這個量服從或近似服從正態分佈。

（四）林德貝爾格定理

設是一個相對獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數學期望和方差 滿足林德貝爾格條件，則當n→∞時，對任意的x

，有

。

中心極限定理案例分析

案例一：中心極限定理在商業管理中的應用

水房擁擠問題：假設西安郵電學院新校區有學生5000人，只有一個開水房，由於每天傍晚打開水的人較多，經常出現同學排長隊的現象，為此校學生會特向後勤集團提議增設水龍頭。假

設後勤集團經過調查，發現每個學生在傍晚一般有1％的時間要佔用一個水龍頭，現有水龍頭45個，現在總務處遇到的問題是：

（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？

（2）至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？

解：（1）設同一時刻，5000個學生中佔用水龍頭的人數為x，則

x～b（5000，0.01）

擁擠的概率是

有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985

，

故

即擁擠的概率

p(ζ > 45) = 1 ? 0.2389 = 0.7611

（2）欲求m

，使得

即

由於

即

查表

即

需裝62個水龍頭。

問題的變形：

（3）至少安裝多少個水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？

解：欲求m，使得

即

由

即

查表

即m≥66.4

故需要裝67個水龍頭。

（4）若條件中已有水龍頭數量改為55個，其餘的條件不變,1,2兩問題結果如何？解：（1）

（2）同上。

（5）若條件中的每個學生佔用由1%提高到1.5%，其餘的條件不變，則（1），

（2）兩問題結果如何?

解：(1)設同一時刻，5000個學生中佔用水龍頭的人數為x，則

x-b(5000，0.015)

已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75

，

擁擠的概率達

(2)欲求m，使得

即

由

即

查表

即m≥89.14

故需裝90個水龍頭。

中心極限定理以嚴格的數學形式闡明瞭在大樣本條件下，不論總體的分佈如何，樣本的均值總是近似地服從正態分佈。如果一個隨機變量能夠分解為獨立同分布的隨機變量序列之和，則可以直接利用中心極限定理進行解決。總之，恰當地使用中心極限定理解決實際問題有着極其重要意義。

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