定積分證明題方法總結通用多篇

定積分證明題方法總結 篇一

摘要：結合實例分析介紹了不定積分的四種基本計算方法。為使學生熟練掌握，靈活運用積分方法，本文將高等數學中計算不定積分的常用方法，簡單進行了整理歸類。

關鍵詞：積分方法 第一類換元法第二類換元法 分部積分法 不定積分是高等數學中積分學的基礎，對不定積分的理解與掌握的好壞直接影響到該課程的學習和掌握。熟練掌握不定積分的理論與運算方法，不但能使學生進一步鞏固前面所學的導數與微分的知識，而且也將為學習定積分，微分方程等相關知識打好基礎。在高等數學中，函數的概念與定義與初等數學相比發生了很多的變化，從有限到無限，從確定到不確定，計算結果也可能不唯一，但計算方法與計算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計算中體會的淋漓盡致。對不定積分的求解方法進行簡單的歸類，不但使其計算方法條理清楚，而且有助於對不定積分概念的理解，提高學習興趣，對學好積分具有一定的促進作用。

1 直接積分法

直接積分法就是利用不定積分的定義，公式與積分基本性質求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數通過代數或三角恆等式變形，變為積分表中能直接計算的公式，利用積分運算法則，在逐項積分。

一、原函數與不定積分的概念

定義1.設f(x)是定義在某區間的已知函數，若存在函數F(x)，使得F(x)或dF

f(x)

(x)f(x)dx

,則稱F(x)為f(x)的一個原函數

定義2.函數

f(x)的全體原函數F(x)C叫做f(x)的不定積分，，記為：

f(x)dxF(x)C

f(x)叫做被積函數 f(x)dx叫做被積表達式C叫做積分常數

“

其中

”叫做積分號

二、不定積分的性質和基本積分公式

性質1. 不定積分的導數等於被積函數，不定積分的微分等於被積表達式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

性質2. 函數的導數或微分的不定積分等於該函數加上一個任意函數，即

f(x)dxf(x)C,

或df(x)f(x)C

性質3. 非零的常數因子可以由積分號內提出來，即

kf(x)dxkf(x)dx

(k0).

性質4. 兩個函數的代數和的不定積分等於每個函數不定積分的代數和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

基本積分公式

(1)kdxkxC(k為常數)

(2)xdx

1

1

x

1

C

(1)

1

(3)xlnxC

x

(4)exdxexC

(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

11x

11x

2

(5)a

x

dx

a

x

lna

C

(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC

(11)

cscxcotxdxcscxC

(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

1x

2

2

xarctanxC

xarcsinxC

xarcsinxC

三、換元積分法和分部積分法

定理1. 設(x)可導，並且f(u)duF(u)C. 則有

f[(x)](x)dxF(u)C

湊微分

f[(x)]d(x)

令u(x)

f(u)du

代回u(x)

F((x))C

該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法． 定理2.設x數F

(t)是可微函數且(t)0，若f((t))(t)具有原函

(t)，則

xt換元

fxdx

fttdt

積分

FtC

t

1

x

回代

1

FxC.

該方法叫第二換元積分法

定積分證明題方法總結 篇二

一、不定積分的概念和性質

若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)C， C為積分常數不可丟！

性質1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

df(x)dxf(x) dx

性質2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

性質3[f(x)g(x)]dx

或[f(x)g(x)]dx

二、基本積分公式或直接積分法

基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

kdxkxC

xxdx1x1C(為常數且1)1xdxlnxC ax

edxeCadxlnaC xx

cosxdxsinxCsinxdxcosxC

dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

dxarctanxCarccotx

C（）1x2arcsinxC（arccosxC）

直接積分法：對被積函數作代數變形或三角變形，化成能直接套用基本積分公式。 代數變形主要是指因式分解、加減拆並等；三角變形主要是指三角恆等式。

三、換元積分法：

1.第一類換元法（湊微分法）

g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

注 (1)常見湊微分：

u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

(2)適用於被積函數為兩個函數相乘的情況：

若被積函數為一個函數，比如：e2xdxe2x1dx， 若被積函數多於兩個，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類；

(3)一般選擇“簡單”“熟悉”的那個函數寫成(x)；

(4)若被積函數為三角函數偶次方，降次；奇次方，拆項；

2.第二類換元法

f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類型：

(1) 對被積函數直接去根號；

(2) 到代換x1; t

(3) 三角代換去根號

x

atantxasect、

xasint(orxacost)

f(xdx，t

f(xx，x

asect

f(xx，xasint

f(xx，xatant f(ax)dx，ta

x

f(xx，t

三、分部積分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

注 (1)u的選取原則：按“ 反對冪三指” 的順序，誰在前誰為u，後面的為v;

(2)uvdx要比uvdx容易計算；

(3)適用於兩個異名函數相乘的情況，若被積函數只有一個，比如：

arcsinx1dx，

u

v

(4)多次使用分部積分法： uu求導 vv積分（t；