“方程的根與函數的零點”教學反思

方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，表面上看，這一內容的教學並不困難，但要讓學生能夠真正理解，教學還需要妥善處理其中的一些問題。最近，在浙江紹興聽了這一內容的兩堂新授課，使用教材都是人民教育出版社《普通高中課程標準試驗教科書·數學1（必修）》，課後又與部分學生進行了交流。總的來説，教學效果都不甚理想，暴露出了一些共同的問題，看來具有一定的代表性。下面就兩堂課共同存在的問題，談一點看法。

一、首先要讓學生認識到學習函數的零點的必要性

教材是利用一元二次方程的例子來引入函數的零點。這樣處理，主要是想讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數的零點，再來理解其他複雜的函數的零點就會容易一些。但在教學時，就不能照本宣科。

這兩堂課的教學都和教材一樣，也是利用一個一元二次方程來引入，圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題。並且，兩位教師都利用了教材中的方程提出了下列問題：

方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？

結果，學生的反應都很平淡，大多數人對這個問題都不感興趣。課後學生認為，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，老師沒必要再問那麼簡單的問題了。由此看來，這堂課一開始就應該讓學生認識到學習函數的零點的必要性。教師所選擇的例子，最好是學生用已學方法不能求解的方程，這樣才能激發學生的學習積極性，並讓其認識到學習函數的零點的必要性。例如，可以把教材後面的例子先提出來，讓學生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什麼？

在學生對上述問題一籌莫展時，再回到一元二次方程上，引導學生利用函數的圖象和性質來研究方程的根。這堂課的頭開好了，整堂課就活了。

二、一元二次方程根的存在是否由其判別式決定

當教師問到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有實根時，兩個班的學生很快就用根的判別式作出了判斷，沒有一位學生用方程相應的函數圖象進行分析。於是，教師又引導學生作出一元二次方程相應的函數的圖象，並建立方程的根與函數圖象和x軸交點的聯繫。值得注意的是，在上述活動中，學生認為，因為一元二次方程根的判別式的大小有三種情況，所以一元二次方程相應的函數圖象和x軸的交點就有三種情況。教師不僅對此默認，還在研究了一元二次方程與其函數圖象的關係後總結到，雖然我們可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但對於沒有判別式的其他方程就可以根據相應的函數圖象來判斷了。

看來，師生們對一元二次方程根存在的本質原因都不清楚，都誤以為是其判別式的大小。如果通過建立一元二次方程與其相應函數圖象的關係，沒有揭露出方程根存在的本質原因是相應函數的零點的存在，那麼就會導致學生對引入函數零點的必要性缺乏深刻的認識，以為結合函數圖象並利用f(a)?f(b)的值與0的關係判斷方程根的存在只是其中的一種方法或技巧，而認識不到其一般性和本質性。所以，教學在研究一元二次方程與其相應函數圖象的關係時，關鍵要以函數圖象為紐帶，建立一元二次方程的根與相應函數零點之間的關係，讓學生理解方程根存在的本質以及判斷方程根存在的一般方法。這樣，才能將所得到的判斷方程根存在的方法推廣到一般情況，並使學生對方程根存在的認識不僅僅停留在判別式或函數圖象上。

三、根據圖象能否判斷函數是否有零點以及零點的個數

儘管兩堂課教師都談到，要判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點（教材對於函數f(x)在（a，b）內有零點，只研究函數f(x)的圖象穿過x軸的情況），應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)?f(b)<0。但是，教學卻沒有對證明的必要性展開討論。結果，從課後瞭解到，學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點，至於證明只是數學上的嚴格要求而已。同樣，兩堂課在研究函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，教師也是這樣告訴學生，應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點，再進行證明，依然沒有説明證明的必要性。所以，在課後向學生提出如何判斷函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，就有學生認為，只需看函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點即可。

看來，教師有必要引導學生認識證明的必要性。例如，我們可以作出一些特殊函數在不同區間範圍的圖象，讓學生通過觀察對比得到認識。