《導數與函數的單調性》教學設計

教學目標

1.結合實例，藉助幾何直觀瞭解函數的單調性與導數的關係.

2.能利用導數研究函數的單調性；對於多項式函數，能求不超過三次的多項式函數的單調區間.

1．函數單調性與導數的關係

設函數f(x)在(a，b)內可導，f′(x)是f(x)的導函數，則

2．充分、必要條件與導數及函數單調性

(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)內單調遞增(或遞減)的充分不必要條件．

(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)內單調遞增(或遞減)的必要不充分條件．

(3)若f′(x)在區間(a，b)的任意子區間內都不恆等於0，則f′(x)≥0(≤0)是f(x)在區間(a，b)內單調遞增(減)的充要條件．

(1)討論函數的單調性或求函數的單調區間的實質是解不等式，求解時，要堅持“定義域優先”原則．

(2)有相同單調性的單調區間不止一個時，用“，”隔開或用“和”連接，不能用“∪”連接．

(3)函數f(x)在區間[a，b]內單調遞增(或遞減)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在該區間恆成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恆成立，“＝”不能少．必要時還需對“＝”進行檢驗．

1．(人教B版選擇性必修第三冊P107·T8(1)改編)函數f(x)＝2x2－ln x的單調遞減區間是()

A.2(1)B.，＋∞(1)C.2(1)D.2(1)∪，＋∞(1)

基礎點 判斷不含參函數的單調性或單調區間

1．(多選)下列函數中，在(0，＋∞)內為增函數的是( )

A．y＝sin x B．y＝xexC．y＝x3＋xD．y＝ln x－x

確定函數單調區間的步驟

(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．

重難點(一)判斷含參函數的單調性

[典例]已知函數f(x)＝2x－x(a)－(a＋2)ln x(a∈R)．討論函數f(x)的單調性．

(1)研究含參函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論．

(2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為零的點和函數的間斷點．

[針對訓練]已知函數f(x)＝ax2－ln x－x，a≠0.試討論函數f(x)的單調性．

重難點(二)根據函數的單調性求參數範圍

[典例]已知函數f(x)＝ln x－2(1)ax2－2x.

(1)若函數f(x)存在單調遞減區間，則a的取值範圍為________；

(2)若函數f(x)在[1,4]上單調遞減，則a的取值範圍為________．

[方法技巧]求參數範圍的常見類型和解題技巧

涉及含參函數單調性問題時找不到分類討論界點

1．(由二次項係數引起的分類討論)設函數f(x)＝ax－x(b)＋ln x，且f(1)＝0.若函數f(x)在定義域上是單調函數，則實數a的取值範圍是________．

若導函數f′(x)解析式的局部可構造成二次項係數含有參數的二次型函數，則必須討論二次項係數，往往分為係數為零、係數為正、係數為負三類，再判斷f′(x)的符號或確定f′(x)的零點，從而實現解題目標．

2．(由區間的包含關係引起的分類討論)已知函數f(x)＝2ln x＋x2－5x在區間，k(1)上為單調函數，則實數k的取值範圍是________．

對於已知f(x)在某個待定區間上的單調性，要確定此單調區間中參數的取值範圍問題，必須先求函數f(x)在定義域上的單調區間，再按待定區間是每個單調區間的子區間分類討論，列出相應的不等式(組)，獲得參數的取值範圍．

3．(由f′(x)的零點引起的分類討論)已知函數f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R，a<0)，其圖象在點(1，f(1))處的切線平行於x軸．試討論函數f(x)在定義域上的單調性．

一般地，當f′(x)有不止一個零點且零點大小關係無法確定時，就無法確定f′(x)>0或f′(x)<0的解集，進而無法確定函數f(x)的單調區間，此時必須對零點的大小關係分類討論．若f′(x)有兩個零點x1，x2，往往分成x1>x2，x1＝x2，x1<x2三類討論，由此實現解題目標．

4．(由函數定義域引起的分類討論)設函數f(x)＝x＋a(1)＋2ln x，其中a∈R且a≠0.試討論函數f(x)的單調性．

一般地，需要討論導函數f′(x)的零點是否含在定義域內，零點將定義域劃分為哪幾個區間，若不能確定，則需要進行分類討論．