等差數列教案(精選多篇)

第一篇：等差數列教案4

等差數列（1）

教學內容與教學目標

1．使學生理解等差數列的定義，掌握通項公式及其簡單應用，初步領會“迭加”的方法；

2．通過通項公式的探求，引導學生學習歸納、猜測、證明等合情推理與邏輯推理方法，提高學生分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力；

3．通過證明的教學過程，培養學生實事求是的科學態度和勇於探索的精神．

設計思想

1．根據本節內容，我們選用“探究發現式”教學法，並按如下順序逐步展開：

(1) 給等差數列下定義；

(2) 等差數列通項公式的探求；

(3) 通項公式的初步應用．

2．在講等差數列概念之前，學生對數列的定義及通項公式已有所理解．在此基礎上，通過引導學生對幾個具體數列共性（差相等）的觀察研究，讓學生自己給等差數列下定義────把命名權交給學生，旨在充分發揮學生的主體作用．

3．“觀察───歸納───猜想───證明”是獲得發現的重要途徑．因此，在探求等差數列的通項公式時，我們選擇了上述途徑，一方面可提高學生的合情推理與邏輯推理能力，另一方面，為落實教學目標打下了堅實的基礎．

課題引入

通過請學生觀察幾個具體的數列的特點．例如：

(1) 1，4，7，10，?；

(2) 3，－1，－5，－9，?；

(3) 5，5，5，5，?，

並由學生自行分析（必要時老師可作點撥）得出“從第2項起每一項與它前一項的差都等於同一個常數”這一共性，隨即請學生給這類數列命名（學生易將這類數列稱作“差相等的數列”或“等差數列）”，師肯定學生的回答，或稍作提煉，並順水推舟，指出這是我們今天將要研究的內容───等差數列（板書），以此引出課題．

知識講解

1．關於等差數列的定義

(1) 教學模式：由學生觀察分析幾個具體數列的共性───給這類數列命名（等差數列）───給等差數列下定義───分析兩個要點的作用───用符號語言描述定義───指出定義的功能．

採用這一教學模式，主要目的是充分發揮學生的主體作用，教師的主導作用主要體現在必要的點撥上．

(2) 等差數列的定義有兩個要點．一是“從第2項起”．這是為了確保每一項與前一項差的存在性；二是“差等於同一個常數”，這是等差數列的基本特點“差相等”的具體體現．

2．+關於等差數列的通項公式

(1) 教學模式：試驗───歸納───猜想───證明───鑑賞．即試着求出a1，a2，a3，a4，並對此進行分析歸納，猜想出通項公式，再加以證明，最後從數形結合的角度揭示公式的內涵．

採用這一教學模式，可幫助學生學習合情推理與邏輯推理的方法，提高學生的發現能力和邏輯思維能力，培養學生思維的科學性和嚴密性以及勇於探索的精神．

(2) 通項公式的證明：

方法1（利用迭加法）：

在an－an－1=d中，取下標n為2，3，?，n，

得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，?，an－an－1=d．

把這n－1個式子相加並整理，

得an= a1＋（n－1）d．

又當n=1時，左邊= a1，右邊= a1＋（1－1）d= a1．

公式也適用．故通項公式為an= a1＋（n－1）d（n=1，2，3，?）．

方法2（利用遞推關係）

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d（注意ak的下標與d的係數的關係）

=?

= a1＋（n－1）d．

（n=1時的驗證同方法1）．

(3) 公式鑑賞：

① 通項公式可表示為an=dn＋c（其中c= a1－d，n?n）的形式，n的係數即為公差．當d≠0時，an是定義在自然數集上的一次函數，其圖象是一次函數y=dx＋c（x?r）的圖象上的一羣孤立的點．

② 通項公式中含有a1，d，n，an四個量，其中a1和d是基本量，當a1和d確定後，通項公式便隨之確定．從已知和未知的角度看，若已知其中任意三個量的值，即可利用方程的思想求出第四個量的值（即知三求一）．

例題分析

考慮到本節課是等差數列的起始課，因此例題應圍繞等差數列的定義及通項公式這兩個知識點選配．

例1．求等差數列8，5，2，?的第20項．

通過本題的求解，使學生初步掌握通項公式的應用，運用方程的思想“知三求

一” ．

本例在探求出通項公式以後給出．

分析與略解：欲求第20項a20，需知首項a1與公差d．現a1為已知，因此只需*求出d，便可由通項公式求出a20．事實上，

∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，

∴ a20=8＋（20－1）×（－3）= －49．

例2．已知數列－2，1，4，?，3n－5，?，

(1) 求證這個數列是等差數列，並求其公差；

(2) 求第100項及第2n－1項；

(3) 判斷100和110是不是該數列中的項，若是，是第幾項？若不是，請説明理由．

通過本例的求解，加深學生對定義及其功能的理解和認識，並能利用方程的思想解決問題．

本例可在講完定義後給出，也可在獲得通項公式以後給出．

分析：對(1)，只需利用定義證明an＋1－an等於常數即可，並且這個常數即為公差；對(2)，從函數的角度看，只需將an=3n－5中的n分別換成100及2 n－1即得a100和a2n－1；對(3)，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分別求出n，若求出的n為正整數，則可判定該數是這個數列中的項，並且這個正整數是幾，該數就是這個數列中的第幾項；若n不是正整數，則該數不是這個數列中的項．

略解：(1)由於an＋1－an=3（n＋1）－5－（3 n－5）=3（常數），

故這個數列是等差數列，且公差d=3．

(2) ∵ an=3 n－5，

∴ a100 =3×100－5=295，

a2n－1=3（2n－1）－5=6n－8．

(3) 設3 n－5=100，解得n=35，

∴ 100是這個數列中的項，並且是第35項；

設3 n－5=110，解得n=115

3?n*，

∴ 110不是這個數列中的項．

小結或總結

本節課我們主要研究了等差數列的定義和它的通項公式．等差數列的定義是判斷一個數列是否是等差數列的依據之一，通項公式是通項an與項數n的關係的一種解析表示，它從函數和方程兩個角度為我們求解問題提供了有力的工具．通過給等差數列下定義及自行探求通項公式，使我們領略了合情推理與邏輯推理在探索、發現知識方面的重要作用．

習 題

1．已知等差數列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，則a4=．

2．已知數列｛an｝的通項公式是an=－2 n＋3，證明｛an｝是等差數列，並求出公差、首項及第2 n＋5項．

3．在數列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，則，a51等於，（）．

(a) 20 (b) 21 (c) 22

參考答案 (d) 23

１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差數列，且d= －2，a1=1，

a2n＋5= －4 n－7．

3．d．

引申與提高

除了等差數列的定義以外，通項公式也是判斷一個數列是否是等差數列的依據之一．我們把通項公式改寫成a1= an＋（n－1）·（－d）（*），並把它與原通項公式比較，易知兩者形式是完全一樣的．這裏可視an為首項，a1為第n項，這個數列由原數列中前n項反序書寫而得，即an，an－1，an－2，?，a2，a1．由（*）式知它仍成等差數列，並且公差為－d．由此知，從正、反兩個不同的順序看待“同一個”等差數列時，各自“等差”的特點保持不變，但公差互為相反數．

思 考 題

１．已知數列－5，－3，－1，1，?是等差數列，判斷2n＋7（n∈n*）是否是該數列中的項？若是，是第幾項？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，

∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，

∴ 2n＋7是該數列中的第n＋7項．

２．已知數列－5，－3，－1，1，?是等差數列，判斷2n＋7（n∈n*）是否是該數列中的項？若是，是第幾項？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，

∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，

∴ 2n＋7是該數列中的第n＋7項．

測 試 題

22．且｛an｝是等差數列，則1．已知數列an?的前4項分別為25，

238是數列an?中的（）．

(b) 第49項

an?1(a) 第48項 (c) 第50項 ?3?1an(d) 第51項 2．已知數列｛an｝中，a1=1，則a98=．

3．一個首項為－24的等差數列，從第10項開始為正數，求公差d的取值範圍．

參考答案

１．d．

2．1

292．提示：｛1an｝是公差為3的等差數列，求出1an後再求an，進而求出

a98．

?a10?0??24?9d?083．由?，即?，解得＜d≤3. 3??24?8d9?0?a9?0

∴d的取值範圍是?，3?．

?3??8?

第二篇：人教版等差數列教案

等差數列

本節課講述的是人教版高一數學（上）§3.2等差數列（第一課時）的內容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

數列是高中數學重要內容之一，它不僅有着廣泛的實際應用，而且起着承前啟後的作用。一方面, 數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分；另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。

2、教學目標

理解並掌握等差數列的概念；瞭解等差數列的通項公式的推導過程及思想；

3、教學重點和難點

①等差數列的概念。

②等差數列的通項公式的推導過程及應用。

由於學生第一次接觸不完全歸納法,對此並不熟悉因此用不完全歸納法推導等差數列的同項公式是這節課的一個難點。

二、學情分析對於高一學生，知識經驗已較為豐富，他們的智力發展已到了形式運演階段，具備了教強的抽象思維能力和演繹推理能力，所以我在授課時注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理髮展特點，從而促進思維能力的進一步發展。

二、教法分析

本節課我採用啟發式、討論式以及講練結合的教學方法，通過問題激發學生求知慾，使學生主動參與數學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發現、分析和解決問題。

三、教學程序

本節課的教學過程由（一）複習引入（二）新課探究（三）應用舉例（四）歸納小結（五）佈置作業，五個教學環節構成。

(一)複習引入：

上兩節課我們學習了數列的定義以及給出數列和表示數列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數列的特點.下面我們看這樣一些數列的例子：(課本p41頁的4個例子)

(1)0，5，10，15，20，25，…;

(2)48，53，58，63，…;

(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;

(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366

(二) 新課探究

1、由引入自然的給出等差數列的概念：

如果一個數列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等於同一常數，這個數列就叫等差數列, 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d來表示。

強調：

① ―從第二項起‖滿足條件；

②公差d一定是由後項減前項所得；

③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數（強調―同一個常數‖ ）；

在理解概念的基礎上，由學生將等差數列的文字語言轉化為數學語言，歸納出數學表達式： an+1-an=d(n≥1)

同時為了配合概念的理解，我找了5組數列，由學生判斷是否為等差數列，是等差數列的找出公差。

1.9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0

4. 1，2，3，2，3，4，……；×

5. 1，0，1，0，1，……×

其中第一個數列公差<0, 第二個數列公差>0,第三個數列公差=0

由此強調：公差可以是正數、負數，也可以是0 ，當d=0，an 為常數列。

2、第二個重點部分為等差數列的通項公式

若一等差數列{an }的首項是a1,公差是d,

則據其定義可得：

a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

進而歸納出等差數列的通項公式：

an=a1+(n-1)d

此時指出：這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養學生嚴謹的學習態度，在這裏向學生介紹另外一種求數列通項公式的辦法------迭加法：a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

將這（n-1）個等式左右兩邊分別相加,就可以得到an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d （第一通項公式）

當n=1時，（1）也成立，

所以對一切n∈n＊，上面的公式都成立

因此它就是等差數列｛an｝的通項公式。

在這裏通過該知識點引入迭加法這一數學思想，逐步達到―注重方法，凸現思想‖ 的教學要求

am 與an有什麼關係呢？

am=a1+(m-1)d①

an=a1+(n-1)d②

a1=am-(m-1)d代入②得an=am-(m-1)d+(n-1)d 即：an=am+(n-m)d(第二通項公式)

（三）應用舉例

【例1】 （1）求等差數列8，5，2,…的第20項;

（2）-401是不是等差數列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？

分析（1）

這個等差數列的首項和公差分別是什麼?你能求出它的第20項嗎?

首項和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因為n=20，所以由等差數列的通項公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

分析（2）

由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數列通項公式為an=-5-4(n-1).

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是這個數列的第100項.

【例2】 已知數列{an}的通項公式an=pn+q，其中p、q是常數，那麼這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什麼？

例題分析：

由等差數列的定義，要判定{an}是不是等差數列，只要根據什麼?

只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關的常數.

説得對，請你來求解.

當n≥2時，〔取數列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕

an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p為常數,

所以我們説{an}是等差數列，首項a1=p+q，公差為p.

這裏要重點説明的是：

(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，….

(2)若p≠0，則an是關於n的一次式，從圖象上看，表示數列的各點(n，an)均在一次函數y=px+q的圖象上，一次項的係數是公差p，直線在y軸上的截距為q.

(3)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數)，稱其為第三通項公式.

（五）歸納小結1.等差數列的概念及數學表達式．

強調關鍵字：從第二項開始它的每一項與前一項之差都等於同一常數

2.等差數列的通項公式 an= a1+(n-1) d會知三求一

(六)佈置作業

必做題：課本p114 習題3.2第2，6 題

五、板書設計

第三篇：等差數列教案

等差數列教案

一、 教材分析

從教材的編寫順序上來看，等差數列是必修五第二章的第二節的內容，一方面它是數列中最基礎的一種類型、與前面學習的函數等知識也有着密切的聯繫，另一方面它又為進一步學習等比數列及數列的極限等內容作準備.

就知識的應用價值上來看，它是從大量數學問題和現實問題中抽象出來的一個模型，對其在性質的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助於培養學生的創新思維和探索精神,是培養學生應用意識和數學能力的良好載體．

依據課標 “等差數列”這部分內容授課時間3課時，本節課為第2課時，重在研究等差數列的性質及簡單應用，教學中注重性質的形成、推導過程並讓學生進一步熟悉等差數列的通項公式。

二． 教學目標

依據課程標準，結合學生的認知水平和年齡特點，確定本節課的教學目標如下：

知識與技能目標：理解等差數列的定義基礎上初步掌握等差數列幾個特徵性質並能運用性質解決一些簡單問題．

過程與方法目標：通過性質的推導過程，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質．

情感與態度目標：通過其性質的探索，激發學生的求知慾，鼓勵學生大膽嘗試、勇於探索、敢於創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美．

三．教學的重點和難點

重點：等差數列的通項公式的性質推導及其簡單應用．從教材體系來看，它為後繼學習提供了知識基礎，具有承上啟下的作用；從知識特點而言，藴涵豐富的思想方法；就能力培養來看，通過發現性質培養學生的運用數學語言交流表達的能力.

突出重點方法：“抓三線、突重點”，即(一)知識技能線：問題情境→性質發現→簡單應用；（二）過程與方法線:特殊到一般、猜想歸納→轉化、方程思想；（三）能力線：觀察能力→數學思想解決問題能力→靈活運用能力及嚴謹態度.

難點：等差數列的性質的探究，從學生認知水平來看，學生的探究能力和用數學語言交流的能力還有待提高.它需要對等差數列的概念充分理解並融會貫通，而知識的整合對學生來説恰又是比較困難的。

突破難點手段：“抓兩點，破難點”,即一抓學生情感和思維的興奮點，激發他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進；二抓知識選擇的切入點，給予恰大的引導，讓學生能在原有的認知水平和所需的知識特點入手。 四．教學方法

利用多媒體輔助教學，採用啟發和探究-建構教學相結合的教學模式

五．教學過程.

1.複習引入

回顧等差數列的定義：一般的，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等於同一個常數，即an?an?1?d （n?2.n?n?)

（讓學生自己列舉等差數列的例子，教師給出一特殊等差數列）2. 根據給出的數列引導學生髮現等差數列的性質：

①有窮等差數列中，與首末兩項等距離的兩項之和等於其首末兩項之和

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

②已知aman 為等差數列的任意兩項，公差為d，則d=（公差的計算：d =an?an?1）

③等差數列中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq（讓學生推

廣：m?n 的情況）

④若?an??bn?是等差數列，則?an?k??kan??an?bn?也是等差數列，

公差分別為d、kd、d1+d2

3.知識鞏固

例1. 等差數列?an?中，已知a2?a7?9,a3?4，則a6解析一：由等差數列通項公式得：a2?a7=a1?d?a1?6d?9

a3?a1?2d?4

解得：

am?an

m?n

101則a6?a1?5d?5 a? d?

33

解析二：由性質③得a2?a7?a3?a6易得a6?5

變式：等差數列?an?中，a5?8,a2?2.則a8?例2. 已知等差數列?an?滿足a1?a2?a3????a101?0，則有（）

a、a1?a101?0 b、a2?a101?0c、a3?a99?0d、a51?51 解析：根據性質1得：a1?a101?a2?a100???a49?a50?2a51，由於

a1?a2?a3???a101?0，所以a51?0，又因為，a3?a99?2a51?0，故正確

答案為c。

課堂練習：等差數列?an?中， a第六項是多少？ 4.小結

引導學生回顧等差數列定義，從通項公式中發現性質。 5.作業佈置：

（1）.書面作業：教材p681.3

（2）請同學們課後思考：除了上述特徵性質外，還能不能

發現其他的性質？

六．教學設計説明

1．複習引入.

本着遵循掌握知識，熟能生巧的方針，温故而知新。讓學生自己例舉等差數列，進一步讓學生真正知道什麼是等差數列，然後採用圖片形式創設問題情景，意在營造和諧、積極的學習氣氛，激發學生的探究欲.

2．性質發現

教學中本着以學生髮展為本的理念，充分給學生想的時間、説的機會以及展示思維過程的舞台，通過他們自主學習、合作探究,展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數學學習成功的喜悦.通過師生之間不斷合作和交流，發展學生的數學觀察能力和語言表達能力，培養學生思維的發散性和嚴謹性. 3．知識鞏固

通過例題説明靈活的應用這些性質和變形公式，可以避繁就簡，有思路的功效。對數列性質的靈活應用反應學生的知識結構特徵掌握程度，有助於學生形成知識模塊，優化知識體系.

?2,a?5.則數列?a?4?的

n

4．作業佈置彈性化．

通過佈置彈性作業，為學有餘力的學生提供進一步發展的空間．

第四篇：高中數學等差數列教案

等差數列

教學目的：

1．明確等差數列的定義，掌握等差數列的通項公式；

2．會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題

教學重點：等差數列的概念，等差數列的通項公式

教學難點：等差數列的性質

教學過程：

引入：① 5，15，25，35，?和② 3000，2995，2990，2985，?

請同學們仔細觀察一下，看看以上兩個數列有什麼共同特徵？？

共同特徵：從第二項起，每一項與它前面一項的差等於同一個常數（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等-----應指明作差的順序是後項減前項），我們給具有這種特徵的數列一個名字——等差數列

二、講解新課：

1．等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的

差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d ⑴．公差d一定是由後項減前項所得，而不能用前項減後項來求；

⑵．對於數列{an},若an－an?1=d (與n無關的數或字母)，n≥2，n∈n，則此數列是等差數列，d 為公?

2．等差數列的通項公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】 ?an?的首項是a1，公差是d，則據其定義可得：a2?a1?d即：a2?a1?d

a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d

??

由此歸納等差數列的通項公式可得：an?a1?(n?1)d

∴已知一數列為等差數列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項a如數列①1，2，3，4，5，6； an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6）

數列②10，8，6，4，2，?； an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1） 數列③1234;,;,1,?;an?1?(n?1)?1?n（n≥1） 5555555

由上述關係還可得：am?a1?(m?1)d

即：a1?am?(m?1)d

則：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d

即的第二通項公式an?am?(n?m)d∴ d=am?an

m?n

如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d

三、例題講解

例1 ⑴求等差數列8，5，2?的第20項

⑵ -401是不是等差數列-5，-9，-13?的項？如果是，是第幾項？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4得數列通項公式為：an??5?4(n?1)

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是這個數列的第100例2 在等差數列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

解法一：∵a5?10，a12?31，則 ?a1?4d?10??a1??2∴an?a1?(n?1)d?3n?5

??

?d?3?a1?11d?31

a20?a1?19d?55

解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55an?a12?(n?12)d?3n?小結：第二通項公式an?am?(n?m)d

例3將一個等差數列的通項公式輸入計算器數列un中，設數列的第s項和第t項分別為us和ut，計算us?ut

s?t

解：通過計算髮現us?ut的值恆等於公差

s?t

證明：設等差數列{un}的首項為u1，末項為un，公差為d，?us?u1?(s?1)d

?

?ut?u1?(t?1)d⑴-⑵得us?ut?(s?t)d?

us?ut

?d s?t

(1) (2)

小結：①這就是第二通項公式的變形，②幾何特徵，直線的斜率

例4 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各解：設?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數列， 由已知條件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,

a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,

答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知數列{an}的通項公式an?pn?q，其中p、q是常數，那麼這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什麼？

分析：由等差數列的定義，要判定?an?是不是等差數列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一個與n無關的常解：當n≥2時, （取數列?an?中的任意相鄰兩項an?1與an（n≥2））

an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p為常數

∴{an}是等差數列，首項a1?p?q，公差為

注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，…

②若p≠0, 則{an}是關於n的一次式,從圖象上看,表示數列的各點均在一次函數y=px+q的圖象上,一次項的係數是公差,直線在y軸上的截距為q.

③數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an=p n+q (p、q是常數3通項公式

④判斷數列是否是等差數列的方法是否滿足3四、練習：

1.（1）求等差數列3，7，11，??的第4項與第10項. 解：根據題意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴該數列的通項公式為：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈n*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39. （2）求等差數列10，8，6，??的第20項. 解：根據題意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴該數列的通項公式為：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28. 評述：要注意解題步驟的規範性與準確性.

（3）100是不是等差數列2，9，16，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，説明理由. 解：根據題意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此數列通項公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個數列的第15項.

（4）－20是不是等差數列0，－31，－7，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，説明理由.解：

由題意可知：a1=0,d=－31∴此數列的通項公式為：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

2227

因為－7n+7=－20沒有正整數解，所以－20不是這個數列的項.

2.在等差數列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1與d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.

a1?1. 解：（1）由題意得：?a1?3d?10,解之得：???

?d?3?a1?6d?19（2）解法一：由題意可得：?a1?2d?9,解之得?a1?11

??

?d??1?a1?8d?3

∴該數列的通項公式為：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0. ⅳ.課時小結

五、小結通過本節學習，首先要理解與掌握等差數列的定義及數學表達式：an－an?1=d ，（n≥2，n∈n）.其次，要會推導等差數列的通項公式：an?a1?(n?1)d，並掌握其基本應用.最後，還要注意一重要關係式：an?am?(n?m)d和an=p n+q (p、q是常數)的理解與應用.

?

第五篇：高中數學等差數列教案(二)

課題：3.3 等差數列的前n項和（二）

6161,又∵n∈n*∴滿足不等式n＜的正整數一共有30個. 22二、例題講解例1 .求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素個數及這些元素的和. 解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合m中一共有30個元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個以a1=1, an(a1?an)30=59,n=30的等差數列.∵sn=2,∴s30(1?59)

30=2=900.

答案：集合m中一共有30個元素，其和為900.

例2.在小於100的正整數中共有多少個數能被3除餘2分析：滿足條件的數屬於集合，m={m|m=3n+2,m＜100,m∈n*}

解：分析題意可得滿足條件的數屬於集合，m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n*} 由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈n*,∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小於100的正整數中共有33個數能被3除餘2.

把這些數從小到大排列出來就是：2，5，8，…，98.

它們可組成一個以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差數列.

由sn(a1?an)n=2,得s33(2?98)

33=2=1650.

答：在小於100的正整數中共有33個數能被3除餘2，這些數的和是1650. 例3已知數列?an?,是等差數列，sn是其前n項和，

求證：⑴s6，s12-s6，s18-s12成等差數列；

⑵設sk,s2k?sk,s3k?s2k （k?n?）成等差數列

證明：設?an?,首項是a1，公差為d

則s6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵s12?s6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?s6?36d∵s18?s12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)

?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(s12?s6)?36d∴

?s6,s12?s6,s18?s12是以36d同理可得sk,s2k?sk,s3k?s2k是以kd為公差的等差數列.

三、練習：

1．一個等差數列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數列的通項公式.

分析：將已知條件轉化為數學語言，然後再解.

解：根據題意，得s4=24, s5－s2=27

則設等差數列首項為a1,公差為d, 2

4(4?1)d?4a??24??12則 ?

?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2（n－1）=2n+1. d?2?

2．兩個數列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差數列公差分別是d1, d2, 求x?x2????x7d1與1y1?y2????y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,

∴x1?x2????x77＝. y1?y2????y66

3．在等差數列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求數列{an}的前n項和snsn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n(n?1)3512512

∴ sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226

∴ 當|n－51|最小時，sn最小， 6

即當n＝8或n＝9時，s8＝s9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴當n＝8或n＝9時，s8＝s9＝－108最小.

四、小結本節課學習了以下內容：?an?是等差數列，sn是其前n項和，則sk,s2k?sk,s3k?s2k （k?n?五、課後作業：

1．一凸n邊形各內角的度數成等差數列，公差是10°,最小內角為100°,求邊數n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n?1)×10， 2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,

當n＝9時, 最大內角100＋(9－1)×10＝180°不合題意，捨去，∴ n＝8.

2．已知非常數等差數列{an}的前n項和sn滿足

10sn?m2?3n?2(m?1)n?mn

解：由題設知

2n2(n∈n, m∈r), 求數列{a5n?3}的前n項和. sn＝lg(m?3?2

即 sn＝[(m?1)n2?mn(m?1)n2?mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m?1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常數等差數列，當d≠0，是一個常數項為零的二次式 (m?1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55

3 則 當n=1時，a1＝lg3?lg2 5

21當n≥2時,an＝sn－sn?1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 55

41＝?nlg2?lg3?lg2 55∴

41nlg2?lg3?lg2 55

4 d=an?1?an=?lg2 5

41a5n?3=?(5n?3)lg2?lg3?lg2 55

11=?4nlg2?lg3?lg2 5

31數列{a5n?3}是以a8=lg3?lg2為首項,5d=?4lg2為公差的等差數列，∴數列5∴an＝?

{a5n?3}的前n項和為

n·(lg3?31211lg2)＋n(n－1)·(?4lg2)＝?2n2lg2?(lg3?lg2)n 255

3．一個等差數列的前12項和為354，前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32:27，求公差d.

解：設這個數列的首項為a1, 公差為d，則偶數項與奇數項分別都是公差為2d的等?12a1?66d?354?32, 解得d＝5. 差數列，由已知得?6a2?30d???6a1?30d27

解法2：設偶數項和與奇數項和分別為s偶，s奇，則由已知得

?s偶?s奇?354?s32,求得s偶＝192，s奇＝162，s偶－s奇＝6d, ∴ d＝5. 偶???s27奇?

4．兩個等差數列，它們的前n項和之比為5n?3, 2n?1

解：a9a1?a17?b9b1?b1717(a1?a17)s8. ??17?'17s173(b1?b17)2

5．一個等差數列的前10項和為100，前100項和為10，求它的前110 解：在等差數列中，

s10, s20－s10, s30－s20, ……, s100－s90, s110－s100, 成等差數列，∴ 新數列的前10項和＝原數列的前100項和，

10s10＋10?9·d＝s100＝10, 解得d＝－22 2

∴ s110－s100＝s10＋10×d＝－120, ∴ s110＝－110.

6．設等差數列{an}的前n項和為sn，已知a3＝12，s12>0，s13<0，(1) 求公差d的取

值範圍；

(2) 指出s1, s2, s3, ……, s1212?11?s?12a?d?01?12?2a1?11d?02?解：(1) ?,?13?12a?6d?0?1?s13?13a1?d?02?

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得??24?7d?024, ∴ －<d<－3, 7?3?d?0

(2) s13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由s12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,s6最大.

六、板書設計（略）

七、課後記：