一元二次方程的解法教案（精品多篇）

1.一元二次方程的有關概念

2.會把一元二次方程化成一般形式

難點： 一元二次方程的含義。

教學過程設計

一、引入新課

引例：剪一塊麪積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪？

分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。

2.這個問題用什麼數學方法解決？(間接計算即列方程解應用題。

3.讓學生自己列出方程   (     x（x十5）＝150    )

深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎？你能叫出這個方程的名字嗎？

二、新課

1.從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上國中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從七年級一直貫穿到九年級。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)

2.什麼是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來説它與一元一次方程沒有什麼區別、也就是説一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決於未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程。(板書一元二次方程的定義)

3.強化一元二次方程的概念

下列方程都是整式方程嗎？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

(1)3x十2＝5x—3：  (2)x2＝4

(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；  (4)(x—1)(x—2)＝x2十8

從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然後再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。

4. 一元二次方程概念的延伸

提問：一元二次方程很多嗎？你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎？

引導學生回顧一元二次方程的定義，分析一元二次方程項的情況，啟發學生運用字母，找到一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0   (a≠0)

1）.提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎？為什麼？(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

2）.講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的係數名稱。

3）.強調：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。

強化概念（課本p6）

1.説出下列一元二次方程的二次項係數、一次項係數、常數項：

（1）x2十3x十2＝o  （2）x2—3x十4＝0；  (3)3x2-5＝0

（4）4x2十3x—2＝0；  (5)3x2—5＝0；       (6)6x2—x=0。

2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項係數、一次項係數、常數項：

(1)6x2＝3-7x；  (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

課堂小節

(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；

(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)並且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；

(3)要很熟練地説出隨便一個一元二次方程中一二次項、一次項、常數項：二次項係數、一次項係數。

課外作業：略

元二次方程的應用 篇二

本節是一元二次方程的應用的繼續和發展，由於能用一元二次方程解的應用題，一般都可以用算術方法解而需要用一元二次方程來解的應用題，一般説是不能用算術方法來解的，所以講本節可以使學生認識到用代數方法解應用題的優越性和必要性。

列一元二次方程解應用題，其應用相當廣泛，如在幾何、物理及其他學科中都有應用；其數量關係也比可以用一元一次方程解決的問題複雜的多。因此，本節所學習的內容，不僅是中學數學中的重點，也是難點。

在教學過程中，通過列一元二次方程解應用題提高學生的邏輯思維能力和分析、解決問題的能力。

《一元二次方程》的優秀教案 篇三

1、自我介紹：30s

大家下午好！我叫XXX，20XX年畢業於暨南大學，學的行政管理，現在教的是國中數學，希望能與大家有一個愉快的下午！

2、一元二次方程概念、係數、根的判別式：8min30s

我們今天的課堂內容是複習一元二次方程。首先請同學們看黑板上的這4個等式，請判斷等式是否是一元二次方程，如果是請説出該一元二次方程的二次項係數、一次項係數以及常數項：

(1)x -10x+9=0 是 1 -10 9

(2)x +2=0 是 1 0 2

(3)ax +bx+c=0 不是 a必須不等於0（追問為什麼）

(4)3x -5x=3x 不是 整理式子得-5x=0所以為一元一次方程（追問為什麼） 好，同學們都回答得非常好！那麼我們所説的一元二次方程究竟是什麼呢？我們從它的名字可以得出它的定義！

一元：只含一個未知數

二次：含未知數項的最高次數為2

方程：一個等式

一元二次方程的一般形式為：ax +bx+c=0 (a ≠0)其中，a 為二次項係數、b 為一次項係數、c 為常數項。記住，a 一定不為0,b 、c 都有可能等於0，一元二次方程的形式多種多樣，所以大家要注意找係數時先將一元二次方程化為一般式！ 至於一個一元二次方程有沒有根怎麼判斷，有同學能告訴老師嗎？（沒有就自己講），好非常好！我們知道Δ是等於2-4ac 的，當Δ>0時，方程有2個不相同的實數根；當Δ=0時，方程有兩個相同的實數根；當Δ<0時，方程無實根。 那我們在求方程根之前先利用Δ判斷一下根的情況，如果小於0，那麼就直接判斷無解，如果大於等於0，則需要進一步求方程根。

3、一元二次方程的解法：20min

那説到求方程的根我們究竟學了幾種求一元二次方程根的方法呢？我知道同學們肯定心裏有答案，就讓老師為你們一一梳理~

（1）直接開方法

遇到形如x =n的二元一次方程，可以直接使用開方法來求解。若n <0，方程無解；若n=0，則x=0，若n >0, 則x=±n 。同學們能明白嗎？

（2）配方法

大家覺得直接開平方好不好用？簡不簡單？那大家肯定都想用直接開方法來做題，是吧？當然，會考題簡單也不至於這麼簡單~但是我們可以通過配方法來將方程往完全平方形式變化。配方法我們通過2道例題來鞏固一下：

簡單的一眼看出來的：x -2x+1=0 (x-1)=0（讓同學回答）

需要變換的：2x +4x-8=0

步驟：將二次項係數化為1，左右同除2得：x +2x-4=0

將常數項移到等號右邊得：x +2x=4

左右同時加上一次項係數一半的平方得：x +2x+1=4+1

所以有方程為：(x+1)=5 形似 x=n

然後用直接開平方解得x+1=±5 x=±5-1

大家能聽懂嗎？現在我們一起來做一道練習題，2min 時間，大家一起報個答案給我！

題目：1/2x-5x-1=0 答案：x=±+5

大家都會做嗎？還需要講解詳細步驟嗎？

（3）講完了直接開方法、配方法之後我們來講一個萬能的公式法。只要知道abc ，沒有公式法求不出來的解，當然啦，除非是無解~

首先，公式法裏面的公式大家還記得嗎？

x=（-b ±2-4ac ）/2a

這個公式是怎麼來的呢？有同學知道的嗎？就是將一般式配方法得到的x 的表達式，大家記住，會用就可以了，如果有興趣可以課後試着用配方法進行推導，也歡迎課後找我探討~這個公式法用起來非常簡單，一找數、二代入、三化簡。 我們來做一道簡單的例題：

3x -2x-4=0

其中a=3，b=-2，c=-4

帶入公式得：x=（（-(-2））± 2) 2-4x(-4)x3/(2x3)

化簡得：x1=（1-)/3 x2=(1+）/3

同學們你們解對了嗎？

使用公式法時要注意的點：係數的符號要看準、代入和化簡要細心，不要馬失前蹄哈~

（4）今天的第四種解方程的方法叫因式分解法。因式分解大家會嗎？好那今天由我來帶大家一起見識一下因式分解的魅力！

簡單來説，因式分解就是將多項式化為式子的乘積形式。

比如説ab+ab 可以化成ab (1+a)的乘積形式。

那麼對於二元一次方程，我們的目標是要將其化成(mx+a)x(nx+b)=0 這樣就可以解出x=-a/m x=-b/n

我們一起做一個例題鞏固一下：4x +5x+1=0

則可以化成4x +x+4x+1=0 x(4x+1)+(4x+1)=0 (x+1)(4x+1)=0

所以有x=-1 x=-1/4

同學們都能明白嗎？就是找出公因式，將多項式化為因式的乘積形式從而求解。 練習題：x -5x+6=0 x=2 x=3

x-9=0 x=3 x=-3

4、總結：1min

好，複習完了二元一次方程我們熟知它的概念。只含有一個未知數且未知數項最高次數為2的等式，叫做二元一次方程。我們還要會找abc 係數，會用Δ=b-4ac 來判別方程實根的情況。還需要熟悉四種方程的解法，這是會考的重點考察內容。當然，具體用哪一種解題方法就需要結合具體的題目來選擇了。如果形式簡單可以直接用開平方則直接用開平方，否則首選因式分解法，再者選擇配方法，最後的底線是公式法~當然每個人的習慣不一樣，熟悉的方法也不一樣，同學們可以自行選擇萬無一失的方法，像老師不到萬不得已絕對不用公式法，哈哈哈哈~好啦，上完這一個複習課希望大家都能有收穫！

元二次方程的相關教案 篇四

教學內容：12.1 用公式解一元二次方程（一）

教學目標：

知識與技能目標：使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項係數、一次項係數及常數項．

過程與方法目標：通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性．

情感與態度目標：由知識來源於實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識．。

教學重、難點與關鍵：

重點：一元二次方程的意義及一般形式．

難點：正確識別一般式中的“項”及“係數”。

教學程序設計：

1．用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然後把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程．學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼並用的能力．

2．現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然後做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那麼應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？

教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，説明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題．

板書：“第十二章一元二次方程”．教師恰當的語言，激發學生的求知慾和學習興趣．

學生看投影並思考問題

通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源於實際，並且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中．同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處於非常重要的地位．

探究新知1

1．複習提問

（1）什麼叫做方程？曾學過哪些方程？

（2）什麼叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？

（3）什麼叫做分式方程？

2．引例：剪一塊麪積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？

引導，啟發學生設未知數列方程，並整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的`概念．

整式方程：方程的兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程．

一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程．

3．練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

（3）

（4）6x2＝x；

（5）2x2＝5y；

（6）-x2＝0

4．任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式．

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2稱二次項，bx稱一次項，c稱常數項，a稱二次項係數，b稱一次項係數．

一般式中的“a≠0”為什麼？如果a＝0，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解．

5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，並寫出二次項係數，一次項係數及常數項？

教師邊提問邊引導，板書並規範步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．

討論後回答

學生設未知數列方程，並整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，

獨立完成

加深理解

學生試解

問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊

反饋訓練應用提高

練習1：教材P．5中1，2．

練習2：下列關於x的方程是否是一元二次方程？為什麼？若是一元二次方程，請分別指出其二次項係數、一次項係數、常數項：．

（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．

教師提問及恰當的引導，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化．

要求多數學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價．題目答案不唯一，最好二次項係數化為正數．

小結提高

（四）總結、擴展

引導學生從下面三方面進行小結．從方法上學到了什麼方法？從知識內容上學到了什麼內容？分清楚概念的區別和聯繫？

1．將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源於實際以及轉化為方程的思想方法．

2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項係數、一次項係數及常數項．歸納所學過的整式方程．

3．一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區別和聯繫．強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義．

學生討論回答

佈置作業

1．教材P．6 練習2．

2．思考題：

1）能不能説“關於x的整式方程中，含有x2項的方程叫做一元二次方程？”

2）試説出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有餘力的學生思考）．

元二次方程的解法教案 篇五

【知識與技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，瞭解公式法的概念。

2.會熟練應用公式法解一元二次方程。

【過程與方法】

通過複習配方法解一元二次方程，引導學生推導出求根公式，使學生進一步認識特殊與一般的關係。

【情感態度】

經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點。

【教學重點】

求根公式的推導和公式法的應用。

【教學難點】

一元二次方程求根公式的推導。

一、情境導入，初步認識

用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0

解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）無解

二、思考探究，獲取新知

如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？

問題 已知ax2+bx+c=0（a≠0），試推導它的兩個根

【分析】因為前面具體數字的題目已做得很多，現在不妨把a,b,c也當成具體數字，根據上面的解題步驟就可以推導下去。

探究 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的係數a,b,c而定，因此：

（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a,b,c代入式子 就得到方程的根，當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根。

（2） 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式。

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。

【教學説明】教師可以引導學生利用配方法推出求根公式，體驗獲取知識的過程，體會成功的喜悦，可讓學生小組展示。

例1 用公式法解下列方程：

①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2

③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0

解：①x1=1+ ,x2=1-

②x1=2,x2=-

③x1=2,x2=

④無解

【教學説明】（1）對②、③要先化成一般形式；（2）強調確定a,b,c的值，注意它們的符號；（3）先計算b2-4ac的值，再代入公式。

三、運用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程：

（1）x2+x-12=0

（2）x2- x- =0

（3）x2+4x+8=2x+11

（4）x（x-4）=2-8x

（5）x2+2x=0

（6）x2+2 x+10=0

解：（1）x1=3,x2=-4;

（2）x1= ,x2= ；

（3）x1=1,x2=-3;

（4）x1=-2+ ，x2=-2- ；

（5）x1=0,x2=-2;

（6）無解。

【教學説明】用公式法解方程關鍵是要先將方程化為一般形式。

四、師生互動，課堂小結

1.求根公式的概念及其推導過程。

2.公式法的概念。

3.應用公式法解一元二次方程。

1.佈置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取。

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分。

在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述，體驗知識的獲取的過程，激發學生的學習興趣，利用師生的雙邊活動，適時調試，從而提高學習效率。

九年級上冊數學教學工作計劃 篇六

【學習目標】

1、瞭解整式方程和一元二次方程的概念 。

2、知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。

3、通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源於實踐又反過來作用於實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

【重點、難點】

重點:一元二次方程的概念和它的一般形式。

難點:對一元二次方程的一般形式的正確理解及其各項係數的確定

【學習過程】

一、

知識回顧

1、什麼是整式方程？_什麼是-元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程:它的左右兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程。就這一點來説它與一元一次方程沒有什麼區別、也就是説一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決於未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程。

2、指出下列方程那些是一元二次方程:那些是一元一次方程？

（1） 3x十2=5x-3

（2） x2=4

（3） (x十3)(3xo4)=(x十2)2;

（4） (x-1)(x-2)=x2十8;

以上是 一元二次方程的為: ___________ 以上是 一元一次方程的為________

二、

探究新知[一]

1、一元二次方程的一般形式是( )

1)。提問a=0時方程還是一無二次方程嗎？為什麼？（如果a=0、b≠ 0 就成了一元一次方程了）

2)。方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的係數名稱各是什麼？

3)。強調:一元二次方程的一般形式中"="的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列:特別注意的是"="的右邊必須整理成0.

探究新知(二)

1、説出下列一元二次方程的二次項係數、一次項係數、常數項:

(1)x 2十3x十2=O ___________

(2)x 2-3x十4=0; __________

(3)3x 2-5=0 ____________

(4)4x 2十3x-2=0; _________

(5)3x 2-5=0; ________

(6)6x 2-x=0. _______

2、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項係數、一次項係數、常數項:

(1)6x -2=3-7x; (2)3x(x-1)=2(x十2)-4;

（3） (3x十2) 2=4(x-3) 2

[學以致用:]

強化概念:

1、説出下列一元二次方程的二次項係數、一次項係數、常數項:

(1)x2十3x十2=O ______

(2)x2-3x十4=0;_______

（3） 3x2-5=0 _____________

(4)4x2十3x-2=0;____________

(5)3x2-5=0______________

(6)6x2-x=0________

2、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項係數、一次項係數、常數項:

(1)6x2=3-7x

(2)3x(x-1)=2(x十2)-4

（3）(3x十2)2=4(x-3)2

[知識總結:]

（1） 什麼是一元二次方程？是一元二次方程滿足哪幾個條件？

（2) 要知道一元二次方程的一般形式{ax2十bx十c=0(a≠0)}並且注意一元二次方程的一般形式中"="的左邊最多幾項、其中（ ）可以不出現、但（ ）必須存在。特別注意的是"="的右邊必須整理成( ）；

（3） 要很熟練地説出隨便一個一元二次方程中一二次項、一次項、常數項:二次項係數、一次項係數。如:(3x十2) 2=4(x-3)____________

診斷檢測題一:

1、一元二次方程的一般形式是_________,其中_____是二次項，____是一次項，_______是常數項。

2、方程(3x-7)(2x+4)=4化為一般形式為_____,其中二次項係數為_____,一次項係數為_______.

3、方程mx2+5x+n=0一定是( )。

A.一元二次方程 B.一元一次方程

C.整式方程 D.關於x的一元二次方程

4、關於x的方程（m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程，則m的取值範圍是( ）

A.任意實數 B. m≠-1 C. m>1 D. m>0

5、方程:3X-1=0;3X2-1=0;2X2-1=(X-1)(X-2)；

3X2+Y=2X那些是一元二次方程？

6、把下列方程化成一般形式，且指出其二次項，一次項和常數項

(1)2x(x-5)=3-x (2) (2x-1)(x+5)=6x

診斷檢測題二:

1、方程 的二次項係數是 ，一次項係數是 ，常數項是 。

2、把一元二次方程 化成二次項係數大於零的一般式是 ，其中二次項係數是 ，一次項的係數是 ，常數項是 ；

3、一元二次方程 的一個根是3,則 ；

4、是實數，且 ，則 的值是 。

5、關於 的方程 是一元二次方程，則 。

6、方程:① ② ③ ④ 中一元二次程是 ( )

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③

元二次方程的相關教案 篇七

教學目的

使學生掌握有關面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程應用題的解法．提高學生化實際問題為數學問題的能力．

教學重點、難點

重點：用圖示法分析題意列方程．

難點：將實際問題轉化為對方程的求解問題

教學過程

複習提問

本小節第一課我們介紹了什麼問題？

引入新課

今天我們進一步研究有關面積和體積方面以及“藥液問題”的`一元二次方程的應用題及其解法．

新課

例1 如圖1，有一塊長25c，寬15c的長方形鐵皮．如果在鐵皮的四個角上截去四個相同的小正方形，然後把四邊折起來，做成一個底面積為231c2的無蓋長方體盒子，求截去的小正方形的邊長應是多少？

分析：如圖1，考慮設截去的小正方形邊長為xc，則底面的長為(25-2x)c，寬為(15-2x)c，由此，知由長×寬＝矩形面積，可列出方程．

解：設小正方形的邊長為xc，依題意，得(25-2x)(15-2x)＝231，

即x2-20x+36＝0，

解得x1＝2，x2＝18(捨去)．

答：截去的小正方形的邊長為2c．

例2 一個容器盛滿藥液20升，第一次倒出若干升，用水加滿；第二次倒出同樣的升數，這時容器裏剩下藥液5升，問每次倒出藥液多少升？

∴x＝10．

答：第一、二次倒出藥液分別為10升，5升．

練習P41 3、4

歸納總結

1．注意充分利用圖示列方程解有關面積和體積的應用題．

2．要注意關於“藥液問題”應用題，列方程要以“剩下藥液”為依據列式．

佈置作業：習題22.3 8、9題

元二次方程的應用 篇八

12.6 一元二次方程的應用（三）

一、素質教育目標

（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題。

（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養學生用數學的意識。

二、教學重點、難點

1.教學重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題。

2.教學難點 ：有關增長率之間的數量關係。下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴大，擴大到，擴大了。

三、教學步驟

（一）明確目標。

（二）整體感知

（三）重點、難點的學習和目標完成過程

1.複習提問

（1）原產量+增產量=實際產量。

（2）單位時間增產量=原產量×增長率。

（3）實際產量=原產量×（1+增長率）.

2.例1  某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？

分析：設平均每月的增長率為x.

則2月份的產量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）.

3月份的產量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]

=5000（1+x）2（噸）.

解：設平均每月的增長率為x，據題意得：

5000（1+x）2=7200

（1+x）2=1.44

1+x=±1.2.

x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，捨去）.

取x=0.2=20％.

教師引導，點撥、板書，學生回答。

注意以下幾個問題：

（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為x.

（2）認真審題，弄清基數，增長了，增長到等詞語的關係。

（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開。

練習1.教材P.42中5.

學生分析題意，板書，筆答，評價。

練習2.若設每年平均增長的百分數為x，分別列出下面幾個問題的方程。

（1）某工廠用二年時間把總產值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率。

（1+x）2=b（把原來的總產值看作是1.）

（2）某工廠用兩年時間把總產值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分數。

（a（1+x）2=b）

（3）某工廠用兩年時間把總產值增加了原來的b倍，求每年增長的百分數。

（（1+x）2=b+1把原來的總產值看作是1.）

以上學生回答，教師點撥。引導學生總結下面的規律：

設某產量原來的產值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次後的產值為a（1+x），增長兩次後的產值為a（1+x）2 ，…………增長n次後的產值為S=a（1+x）n.

規律的得出，使學生對此類問題能居高臨下，同時培養學生的探索精神和創造能力。

例2  某產品原來每件600元，由於連續兩次降價，現價為384元，如果兩個降價的百分數相同，求每次降價百分之幾？

分析：設每次降價為x.

第一次降價後，每件為600-600x=600（1-x）（元）.

第二次降價後，每件為600（1-x）-600（1-x）•x

=600（1-x）2（元）.

解：設每次降價為x，據題意得

600（1-x）2=384.

答：平均每次降價為20％.

教師引導學生分析完畢，學生板書，筆答，評價，對比，總結。

引導學生對比“增長”、“下降”的區別。如果設平均每次增長或下降為x，則產值a經過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）.

（四）總結、擴展

1.善於將實際問題轉化為數學問題，嚴格審題，弄清各數據相互關係，正確佈列方程。培養學生用數學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法。

2.在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取捨問題。

3.我們只學習一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率。3年、4年……，n年，應該説按照規律我們可以列出方程，隨着知識的增加，我們也將會解這些方程。

四、佈置作業

教材P.42中A8

五、板書設計

12.6  一元二次方程應用（三）

1.數量關係： 例1…… 例2……

（1）原產量+增產量=實際產量 分析：…… 分析……

（2）單位時間增產量=原產量×增長率 解…… 解……

（3）實際產量=原產量（1+增長率）

2.最後產值、基數、平均增長率、時間

的基本關係：

M=m（1+x）n  n為時間

M為最後產量，m為基數，x為平均增長率

元二次方程的應用 篇九

12.6  一元二次方程的應用（二）

一、素質教育目標

（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用問題。

（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養用數學的意識。

二、教學重點、難點

1.教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用題。

2.教學難點 ：找等量關係。列一元二次方程解應用題時，應注意是方程的解，但不一定符合題意，因此求解後一定要檢驗，以確定適合題意的解。例如線段的長度不為負值，人的個數不能為分數等。

三、教學步驟

（一）明確目標。

（二）整體感知

（三）重點、難點的學習和目標完成過程

1.複習提問

（1）列方程解應用題的步驟？

（2）長方形的周長、面積？長方體的體積？

2.例1  現有長方形紙片一張，長19cm，寬15cm，需要剪去邊長是多少的小正方形才能做成底面積為77cm2的無蓋長方體型的紙盒？

解：設需要剪去的小正方形邊長為xcm，則盒底面長方形的長為（19-2x）cm，寬為（15-2x）cm，

據題意：（19-2x）（15-2x）=77.

整理後，得x2-17x+52=0，

解得x1=4，x2=13.

∴  當x=13時，15-2x=-11（不合題意，捨去。）

答：截取的小正方形邊長應為4cm，可製成符合要求的無蓋盒子。

練習1.章節前引例。

學生筆答、板書、評價。

練習2.教材P.42中4.

學生筆答、板書、評價。

注意：全面積=各部分面積之和。

剩餘面積=原面積-截取面積。

例2  要做一個容積為750cm3，高是6cm，底面的長比寬多5cm的長方形匣子，底面的長及寬應該各是多少（精確到0.1cm）？

分析：底面的長和寬均可用含未知數的代數式表示，則長×寬×高=體積，這樣便可得到含有未知數的等式——方程。

解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm，

解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm，

據題意，6x（x+5）=750，

整理後，得x2+5x-125=0.

解這個方程x1=9.0，x2=-14.0（不合題意，捨去）.

當x=9.0時，x+17=26.0，x+12=21.0.

答：可以選用寬為21cm，長為26cm的長方形鐵皮。

教師引導，學生板書，筆答，評價。

（四）總結、擴展

1.有關面積和體積的應用題均可藉助圖示加以分析，便於理解題意，搞清已知量與未知量的相互關係。

2.要深刻理解題意中的已知條件，正確決定一元二次方程的取捨問題，例如線段的長不能為負。

3.進一步體會數字在實踐中的應用，培養學生分析問題、解決問題的能力。

四、佈置作業

教材P.42中A3、6、7.

教材P.41中3.4

五、板書設計

12.6  一元二次方程的應用（二）

例1.略

例2.略

解：設……… 解：…………

………… …………

12.6  一元二次方程的應用（二）

一、素質教育目標

（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用問題。

（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養用數學的意識。

二、教學重點、難點

1.教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面的應用題。

2.教學難點 ：找等量關係。列一元二次方程解應用題時，應注意是方程的解，但不一定符合題意，因此求解後一定要檢驗，以確定適合題意的解。例如線段的長度不為負值，人的個數不能為分數等。

三、教學步驟

（一）明確目標。

（二）整體感知

（三）重點、難點的學習和目標完成過程

1.複習提問

（1）列方程解應用題的步驟？

（2）長方形的周長、面積？長方體的體積？

2.例1  現有長方形紙片一張，長19cm，寬15cm，需要剪去邊長是多少的小正方形才能做成底面積為77cm2的無蓋長方體型的紙盒？

解：設需要剪去的小正方形邊長為xcm，則盒底面長方形的長為（19-2x）cm，寬為（15-2x）cm，

據題意：（19-2x）（15-2x）=77.

整理後，得x2-17x+52=0，

解得x1=4，x2=13.

∴  當x=13時，15-2x=-11（不合題意，捨去。）

答：截取的小正方形邊長應為4cm，可製成符合要求的無蓋盒子。

練習1.章節前引例。

學生筆答、板書、評價。

練習2.教材P.42中4.

學生筆答、板書、評價。

注意：全面積=各部分面積之和。

剩餘面積=原面積-截取面積。

例2  要做一個容積為750cm3，高是6cm，底面的長比寬多5cm的長方形匣子，底面的長及寬應該各是多少（精確到0.1cm）？

分析：底面的長和寬均可用含未知數的代數式表示，則長×寬×高=體積，這樣便可得到含有未知數的等式——方程。

解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm，

解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm，

據題意，6x（x+5）=750，

整理後，得x2+5x-125=0.

解這個方程x1=9.0，x2=-14.0（不合題意，捨去）.

當x=9.0時，x+17=26.0，x+12=21.0.

答：可以選用寬為21cm，長為26cm的長方形鐵皮。

教師引導，學生板書，筆答，評價。

（四）總結、擴展

1.有關面積和體積的應用題均可藉助圖示加以分析，便於理解題意，搞清已知量與未知量的相互關係。

2.要深刻理解題意中的已知條件，正確決定一元二次方程的取捨問題，例如線段的長不能為負。

3.進一步體會數字在實踐中的應用，培養學生分析問題、解決問題的能力。

四、佈置作業

教材P.42中A3、6、7.

教材P.41中3.4

五、板書設計

12.6  一元二次方程的應用（二）

例1.略

例2.略

解：設……… 解：…………

………… …………