圓的標準方程教案【精品多篇】

圓的標準方程教案 篇一

教學目標

（一）知識目標

1、掌握圓的標準方程：根據圓心座標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心座標和半徑；

2、理解並掌握切線方程的探求過程和方法。

（二）能力目標

1．進一步培養學生用座標法研究幾何問題的能力；

2、通過教學，使學生學習運用觀察、類比、聯想、猜測、證明等合情推理方法，提高學生運算能力、邏輯思維能力；

3、通過運用圓的標準方程解決實際問題的學習，培養學生觀察問題、發現問題及分析、解決問題的能力。

（三）情感目標

通過運用圓的知識解決實際問題的學習，理解理論來源於實踐，充分調動學生學習數學的熱情，激發學生自主探究問題的興趣，同時培養學生勇於探索、堅忍不拔的意志品質。

教學重、難點

（一）教學重點

圓的標準方程的理解、掌握。

（二）教學難點

圓的標準方程的應用。

教學方法

選用引導？探究式的教學方法。

教學手段

藉助多媒體進行輔助教學。

教學過程

Ⅰ。複習提問、引入課題

師：前面我們學習了曲線和方程的關係及求曲線方程的方法。請同學們考慮：如何求適合某種條件的點的軌跡？

生：①建立適當的直角座標系，設曲線上任一點M的座標為(x，y)；②寫出適合某種條件p的點M的集合P＝｛M ？p（M）｝；③用座標表示條件，列出方程f(x,y)=0；④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式。⑤證明以化簡後方程的解為座標的點都是曲線上的點（一般省略）。［多媒體演示］

師：這就是建系、設點、列式、化簡四步曲。用這四步曲我們可以求適合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。［給出標題］

師：前面我們曾證明過圓心在原點，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.

若半徑發生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點，半徑為r的圓的方程？

生：x2+y2=r2.

師：你是怎樣得到的？（引導啟發）圓上的點滿足什麼條件？

生：圓上的任一點到圓心的距離等於半徑。即 ，亦即 x2+y2=r2.

師：x2+y2=r2 表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點，半徑為r.有時圓心不在原點，若此圓的圓心移至C（a,b）點（如圖），方程又是怎樣的？

生：此圓是到點C(a,b)的距離等於半徑r的點的集合，

由兩點間的距離公式得

即：（x-a）2+(y-b)2= r2

Ⅱ。講授新課、嘗試練習

師：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圓的標準方程。

特別：當圓心在原點，半徑為r時，圓的標準方程為：x2+y2=r2.

師：圓的標準方程由哪些量決定？

生：由圓心座標（a,b）及半徑r決定。

師：很好！實際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個獨立變量即可。

1、寫出下列各圓的標準方程：［多媒體演示］

① 圓心在原點，半徑是3 ：________________________

② 圓心在點C（3，4），半徑是 ：______________________

③ 經過點P（5，1），圓心在點C（8，－3）：_______________________

2、變式題［多媒體演示］

① 求以C（1，3）為圓心，並且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。

答案：(x-1)2 + (y-3)2 =

② 已知圓的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ，寫出圓心座標和半徑。

答案： C（a,0）， r=|a|

Ⅲ。例題分析、鞏固應用

師：下面我們通過例題來看看圓的標準方程的應用。

［例1］ 已知圓的方程是 x2+y2=17，求經過圓上一點P（，）的切線的方程。

師：你打算怎樣求過P點的切線方程？

生：要求經過一點的直線方程，可利用直線的點斜式來求。

師： 斜率怎樣求？

生：。。。。。。

師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結合圖形來看看（如圖）

生：切線與過切點的半徑垂直，故斜率互為負倒數

半徑OP的斜率 K1＝， 所以切線的斜率 K＝－＝－

所以所求切線方程：y-= －(x-)

即：x+y=17 （教師板書）

師：對照圓的方程x2+y2=17和經過點P（，）的切線方程x+y=17，你能作出怎樣的猜想？

生：。。。。。。

師：由x2+y2=17怎樣寫出切線方程x+y=17,與已知點P（，）有何關係？

（若看不出來，再看一例）

〈ＷＷＷ．〉［例1/］ 圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點（2，3）的切線方程。

答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0

師：發現規律了嗎？（學生紛紛舉手回答）

生：分別用切點的橫座標和縱座標代替圓方程中的一個x和一個y，便得到了切線方程。

師：若將已知條件中圓半徑改為r，點改為圓上任一點（xo,yo），則結論將會發生怎樣的變化？大膽地猜一猜！

生：xox+yoy=r2.

師：這個猜想對不對？若對，可否給出證明？

生：。。。。。。

［例2］已知圓的方程是 x2+y2=r2，求經過圓上一點P（xo,yo）的切線的方程。

解：如圖（上一頁），因為切線與過切點的半徑垂直，故半徑OP的斜率與切線的斜率互為負倒數

∵半徑OP的斜率 K1＝，∴切線的斜率 K＝－＝－

∴所求切線方程：y-yo= － (x-xo)

即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. （教師板書）

當點P在座標軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。

歸納總結：圓的方程可看成 x.x+y.y=r2,將其中一個x、y用切點的座標xo、yo 替換，可得到切線方程

［例3］右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造時每隔4M需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度。（精確到0.01M）

引導學生分析，共同完成解答。

師生分析：①建系； ②設圓的標準方程（待定係數）；③求係數（求出圓的標準方程）；④利用方程求A2P2的長度。

解：以AB所在直線為X軸，O為座標原點，建立如圖所示的座標系。則圓心在Y軸上，設為

（0，b），半徑為r，那麼圓的方程是 x2+(y-b)2=r2.

∵P(0,4)，B(10,0)都在圓上，於是得到方程組：

解得：b=-10.5 ，r2=14.52

∴圓的方程為 x2+(y＋10.5)2=14.52.

將P2的橫座標x=-2代入圓的標準方程

且取y>0

得：y=

≈14.36-10.5=3.86 (M)

答：支柱A2P2的長度約為3.86M。

Ⅳ。課堂練習、課時小結

課本Ｐ77練習2，3

師：通過本節學習，要求大家掌握圓的標準方程，理解並掌握切線方程的探求過程和方法，能運用圓的方程解決實際問題。

Ⅴ。問題延伸、課後作業

（一)若P（xo,yo）在圓（x-a）2+(y-b）2= r2上時，？求過P點的圓的切線方程。

課本Ｐ81習題7.7 : 1，2，3，4

（二）預習課本Ｐ77～Ｐ79

圓的標準方程教案 篇二

1。教學目標

（1）知識目標: 1。在平面直角座標系中，探索並掌握圓的標準方程；

2。會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據條件寫出圓的方程。

（2）能力目標: 1。進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力；

2。使學生加深對數形結合思想和待定係數法的理解；

3。增強學生用數學的意識。

（3）情感目標:培養學生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣。

2。教學重點。難點

（1）教學重點:圓的標準方程的求法及其應用。

（2）教學難點:會根據不同的已知條件，利用待定係數法求圓的標準方程以及選擇恰

當的座標系解決與圓有關的實際問題。

3。教學過程

（一)創設情境(啟迪思維）

問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2。7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道？

[引導] 畫圖建系

[學生活動]:嘗試寫出曲線的方程（對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性複習）

解:以某一截面半圓的圓心為座標原點，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立直角座標系，則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)

將x=2。7代入，得 。

即在離隧道中心線2。7m處，隧道的高度低於貨車的高度，因此貨車不能駛入這個隧道。

（二)深入探究(獲得新知）

問題二:1。根據問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為 的圓的方程？

答:x2 y2=r2

2。如果圓心在 ，半徑為 時又如何呢？

[學生活動] 探究圓的方程。

[教師預設] 方法一:座標法

如圖，設M(x,y)是圓上任意一點，根據定義點M到圓心C的距離等於r,所以圓C就是集合P={MMC=r}

由兩點間的距離公式，點M適合的條件可表示為 ①

把①式兩邊平方，得(x?a)2 (y?b)2=r2

方法二:圖形變換法

方法三:向量平移法

（三)應用舉例(鞏固提高）

圓的標準方程教案 篇三

教學目標：

1、掌握圓的標準方程，能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程。

2、會用待定係數法求圓的標準方程。

教學重點：圓的標準方程

教學難點：會根據不同的已知條件，利用待定係數法求圓的標準方程。

教學過程：

（一）、情境設置：

在直角座標系中，確定直線的基本要素是什麼？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什麼呢？什麼叫圓？在平面直角座標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，那麼，圓是否也可用一個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什麼特徵呢？

探索研究：

（二）、探索研究：

確定圓的基本條件為圓心和半徑，設圓的圓心座標為A（a，b），半徑為r。（其中a、b、r都是常數，r>0）設M（x，y）為這個圓上任意一點，那麼點M滿足的條件是（引導學生自己列出）P={M||MA|=r}，由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件①

化簡可得：②

引導學生自己證明為圓的方程，得出結論。

方程②就是圓心為A（a，b），半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程。

（三）、知識應用與解題研究

例1．（課本例1）寫出圓心為，半徑長等於5的圓的方程，並判斷點是否在這個圓上。

分析探求：可以從計算點到圓心的距離入手。

探究：點與圓的關係的判斷方法：

（1）>，點在圓外

（2）=，點在圓上

（3）<，點在圓內

解：

例2．（課本例2）的三個頂點的座標是求它的外接圓的方程。

師生共同分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓。從圓的標準方程可知，要確定圓的標準方程，可用待定係數法確定三個參數。

解：

例3．（課本例3）已知圓心為的圓經過點和，且圓心在上，求圓心為的圓的標準方程。

師生共同分析：如圖，確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小。圓心為的圓經過點和，由於圓心與A，B兩點的距離相等，所以圓心在線段AB的垂直平分線m上，又圓心在直線上，因此圓心是直線與直線m的交點，半徑長等於或。

解：

總結歸納：（教師啟發，學生自己比較、歸納）比較例2、例3可得出圓的標準方程的兩種求法：

1、根據題設條件，列出關於的方程組，解方程組得到的值，寫出圓的標準方程。

②﹑根據確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心座標和半徑大小，然後再寫出圓的標準方程。

（四）、課堂練習（課本P120練習1，2，3，4）

歸納小結：

1、圓的標準方程。

2、點與圓的位置關係的判斷方法。

3、根據已知條件求圓的標準方程的方法。

作業佈置：課本習題4。1A組第2，3，4題。

課後記：