數學建模精品論文【精品多篇】

數學建模優秀論文 篇一

俗話説：“發現是創新的萌芽，創新是一個民族的靈魂。”別看我是一個國小生，我卻善於創新。

英語書上有一個詞“四月”，我總是把這5個字母搞錯。為此我背了一遍又一遍，可是我的腦袋好像這麼也記不住這個單詞。每當默寫單詞或是做到這個單詞的題目，我從沒對過。一天，晚上我開始為背這個單詞發愁，我讀了幾遍後，突發奇想來編個故事記住這個單詞。我想四月份是春天，就脱口冒出這則故事：孩子a在春天用鏟子p種下小芽r，小芽r長成小苗i，又長成樹苗l，當時正值四月份。編完這則短小有趣的故事我才發現這個單詞我已經會了。從那刻起我再也沒為背這個單詞發愁，不論是默寫還是做題，只要憶及這則風趣的故事，我哪還能錯！經過這件事後，故事記憶法讓我不再發愁什麼單詞不會背。其實發現別人未發現的事，走別人未走過的路，説別人未説過的話······那麼成功就離你不遠！在創新的國度裏沒有邊際，只要你肯創新，大千世界的許多東西就等你。相信自己去創新，奇蹟就會降臨，成功就會在你身邊。

擁有創新一直是人類最美好的、不同於其他生物特質之一。和我一樣展開創新的思緒吧！讓身邊的一切從此不再*凡！

數學建模優秀論文 篇二

轉眼間我從20xx年9月份參加工作至今已經一年，經過這一年的努力工作和不斷學習，我獲益良多。

在這裏感覺有必要總結一下近一年的得與失，發揚好的地方改進不足的地方，回顧走過的路可以更好的看清前面的路，並且更加積極的投身於今後的教育事業。

一、思想方面

良好的師德風尚是一名教師所努力追求並竭力保持的必備風範，並且我一直將一句話銘記於心，身正為師。因此，在這一年中，我始終牢記自己所領悟到的師德建設要求。在育人思想上，堅持以人為本，關心熱愛學生；課外我努力與學生做朋友，用心與他們溝通，希望能真正瞭解他們的所想所愛。總得來説，我做的一切目的是一樣的，就是希望能幫助學生健康成長。在行為作風上，強化自律意識，為人嚴謹，作風正派，為人師表，講文明懂禮貌，用自身的實際行為給學生樹立好學、勤學、活學的榜樣。

二、工作方面

作為一名新教師，一切都是新的，20xx年九月來到學校，我承擔了一年級，二年級，四年級的英語教學工作，並且擔任了一年級的班主任。工作充實而不乏挑戰。儘管教學和管理任務非常沉重，但兩者都是我的工作中心。我知道唯有勤勤懇懇的工作，才能儘早的適應教學工作，站穩講台。因此，我認真備課，認真閲讀教學參考書，認真寫好每一份教案，並虛心向同組老師請教、學習，台在指導老師的幫助下尋找教學重難點的突破口。我經常思考英語的教學方法，學習教學設計，以及組織與我們學校相符合的教學活動。在課堂教學中，堅持以人為本思想，把課堂還給學生，運用各種教學方法調動學生的學習積極性，活躍課堂氣氛。在課後，也不斷地進行反思，找出自己的不足之處，在以後的教學中加以改正。在英語教學方面雖然教學方法還不是很成熟，但我已在教學中學到了很多。逐漸的有了自己的教學風格和教學方式，這都是各位老師和鄰導們的栽培和幫助。在此十分感謝大家對我的幫助。

在這一年中，作為一名年輕的班主任，我虛心地學習優秀班主任的治班之策，不斷地摸索管理班級的各種方法，雖然進步有些緩慢但是我一直堅持不懈的在成為一名合格的優秀的的班主任之路上不斷探索進取，也希望各位老師和領導能夠在今後的工作中對我多加指導，批評和建議。

三、學習方面

作為一名新教師，自身的學識相當重要。自從走上教師這一崗位以來，我不斷學習，繼續學習。學習成為我工作生活中極為重要的一個組成部分。我積極參加新教師職業技能與職業道德的培訓，積極參與各種教學活動，並且通過閒暇時間自學研讀有關教育教學理論等方面書籍，通過這些途徑，我不斷充實自己的頭腦，完善自己的教育教學理論，以便在工作中能以先進的理論作為指導，更好地完成教育教學工作。

經過一年的工作與學習，我自感收穫頗豐但還是有很多不足的地方等待我去提高。首先我覺得我的教學設計能力還待高，其次，可能是年輕吧，在管理方面，有些事情時還過於急噪，需要有更多的耐心。我相信在今後的工作和學習中，經過磨練，我會改善自己的不足，越做越好，希望各位老師和領導能夠繼續支持指導我的工作，謝謝大家。

數學建模優秀論文 篇三

有一天，我在玩一個遊戲，碰上一道挑戰題，只要題目做對了就能得到相應的獎勵，題目是這樣的：從1＋2＋3＋……100＝？我心想這樣要加到什麼時候啊。我趕緊請教爸爸，爸爸教了我一個好辦法：例如從1加到６，可以組成1＋6＝7、2＋5＝7、3＋4＝7，再將三個7相加或者是3×7，得數就是21。計算方法是將第一個數1和最後一個數6相加得7，再和最後一個數的一半相乘，即和6÷2＝ 3相乘，3×7 ＝ 21，這樣就方便多了。我試着算了一下，從1加到10就是1＋10 ＝ 11，10÷2 ＝ 5，11×5＝ 55；那麼從1加到100就是1＋100＝ 101，100÷2＝ 50，101×50＝ 5050。

哈哈，加法變乘法，算起來又快又準，數學真奇妙，數學無止境，數學真是快樂的天堂！

數學建模優秀論文 篇四

關鍵詞：國小數學；微課資源；教學活動；途徑

隨着信息技術手段的更新和升級，微課已經成為一種綜合應用性很靈活和很有效的信息技術輔助性教學工具，在微課資源的大量應用下許多課程教學的視域和角度得到進一步地拓展和提升，不僅豐富了教學的內容，而且生動和簡化了教學的程序，更為重要的是提升了學生的學習認知水*。鑑於國小生自身的身心學習接受度以及國小數學教材內容的抽象性和邏輯性強特徵，這就需要教師優化整合國小數學教學內容以及微課資源的切合點，從而有機地發揮微課資源對國小數學教學活動的引導和提升。

一、國小數學教學中微課資源應用的必要性

一方面，從微課資源來看，它是藉助於信息技術精簡教學時間集合教學視頻、教案、課件、練習和反思於一體的資源，它能夠融合和彌補各個資源之間的優勢和缺點，使這個資源最大化地組合演化為生動、具體、多樣化和可操行的教學資源，一旦與課程教學活動相結合就能夠拓展課程教學活動的深度和廣度。另一方面，國小數學課程教學活動交織着文字理解和數字展示的活動，而國小生本身還處於不斷地學習語言文字和數字理解的認知挖掘階段，這就不可避免地造成了國小生學習數學難的困境，另外，國小生的身心成長特點又決定了他們對趣味性、豐富性和新奇性等事物比較敏感。因此，如果在國小數學教學活動中強化微課資源的應用，微課資源就能夠有效轉化國小數學課程展開的教學方式和風格，就有利於滿足國小生自身天性健康成長的需求，最終有利於提升國小生學習數學課程的效益性。

二、國小數學教學中微課資源應用的途徑

1、注重微課資源與國小數學教學活動的契合性

微課是在原有的多媒體信息技術簡化和升級的產物，這就決定了國小數學課程的有效開展還是脱離不了多媒體信息技術的輔助，這就需要國小數學教學藉助於深化和提升多媒體技術輔助工具在國小數學教學活動的有機靈活性應用，以挖掘微課資源與國小數學教學活動的契合點，使得國小課程所進行的教學活動各個環節能夠詳略得當和重難點得到全面性地凸顯，那麼，國小生就能夠把握數學教學活動的內在學習規律而逐漸地內化成為自己的學習方法，國小生學習數學難的困境就會逐漸得以緩解。例如：在進行國小數學第三冊《長度單位》這一數學教學活動時，教師以精簡《長度單位》的視頻展示，簡要地把長度單位的概念、分類以及公式；教學目標等通過多媒體視頻形式展示出來，特別注重以國小生熟悉的鉛筆作為長度單位的展示對象進行長短比較和之間的轉換重點性講授視頻演示，而後教師和學生一起對微練習題進行強化訓練，且通過練習題的反饋情況教師及時指出學生們對這節課程的掌握情況進行總結反思。在微課資源的交織有效應用和引導下，國小生不再感覺到數學課堂活動枯燥無味而是充滿了吸引力，並願意配合教師的微課教學活動去認真探求適合自己的數學學習方法，那麼，國小生的數學知識水*就會得到不斷地培養和提升。

2、拓展微課資源對國小數學課堂教學活動的延伸

國小數學知識包含着大量的知識體系和內容，同時，國小生的思維認知和學習承受度的有限性，單一性地靠短暫的課堂四十分鐘數學教學活動，國小生難以有效地消化對所學課程內容的理解和應用。這就需要教師通過微課資源對課堂知識點教學的精簡應用製作成課後微課視頻，通過教師的微信*台羣或者教師的公共號進行發佈，以便於國小生在離開學校以後當遇到數學學習難題時，可以讓家長把教師的微課視頻進行播放讓學生在進行知識點的再現解讀，從而國小生就能夠通過教師的微課視頻再次回憶起遺忘或者存在誤區的知識點部分，由此可見，這種微課資源在數學課堂外的拓展就是對課堂活動的進一步延伸，成為國小生隨時隨地有效學習數學的良師益友，最終有助於國小生在不斷反覆琢磨數學知識點和應用的過程中成功地找到適合自己的數學學習策略。

三、結語

顯然，教師與時俱進加大微課資源在國小數學教學活動中的應用，是國小數學教學活動與時代發展特徵緊密相結合的現實性要求，也是滿足國小生成長天性健康發展的個體性訴求，更是國小生數學自身課程教學進一步挖掘和提升的限制性需求。只有教師充分發揮微課資源對數學各個課程環節的貫穿和引導，國小生的成長天性優勢才得以進一步地挖掘，也才能夠引起國小生的學習興趣和增強他們學習的自信心，更有利於破解國小生學習數學難的困境。

參考文獻

[1]樑培斌。微課在國小數學教學中的應用[J].中國小信息技術教育，2013,(12):50-52.

[2]何曉園。國小數學微課資源的開發與應用研究[D].寧波大

數學建模優秀論文 篇五

20xx年上半年大學語文教研室承擔全校公共課兩門，即大學語文、就業指導；同時也分擔系部專業課三門，分別為公文寫作與處理、祕書實訓以及公共關係學。增設課程由教研室青年教師共同承擔，其工作量與備課難度大幅度提升。為了更好的完成教學任務，特做以下規劃和安排。

一、教學安排

1、對教研室承擔的各門課程制定詳細的課程教學計劃。

2、嚴格督促各課程任教人員認真備課，提高授課質量。

3、定期檢查任課教師教案及教學活動。

二、科學研究

1、積極鼓勵教研室全體教師申報國家、省市級科研課題。

2、教研室青年教師需在公開刊物發表至少一篇學術論文。

3、繼續“教幫帶”活動，進一步深化教授幫帶青年教師進行教學、科研等方面的指導。

三、教研室活動

1、每月一次教研室例會。

2、每月開展一次集體備課。

3、不定期舉行聽課、評課活動。

4、根據各位教授學術研究方向，定期舉辦小型學術講座，以提升青年教師科研意識及擴展學術研究視野。

數學建模優秀論文 篇六

為了落實學校有關教學文件精神，提高教師的教學水平和科研一、學期工作重點能力，大學化學教研室特制定工作計劃如下：

1、抓日常教學管理，提高管理意識。加強教學常規管理，從備課、上課、課後輔導抓起，加強實踐環節教學工作，加強教師之間的聯繫，充分調動教師積極性，完成本學期教學工作任務。

2、每兩週舉行一次教研室活動，交流和探討教學經驗，鼓勵教師相互聽課；針對老師們在教學過程中遇到的問題共同討論、並提出解決方法，從而可更好的吸取良好教學經驗。堅持開展週一下午的教研組活動，進行集體備課，統一教學進度，對各自的教學情況進行總結。

3、開展1-2次教學以外娛樂活動，方式等教研室成員共同商定之後再定。

4、加強課程建設。本學期計劃組織1-2次課程建設和精品課程建設的討論會，就教學計劃、教學大綱、課程設置等進行討論，以使更加科學合理。

5、積極開展新課教師的公開教學和老教師的公開示範課活動，以此形成良好的“以老帶新”的局面，進一步提高教師的教學水平。

6、積極組織教師申報科研項目，以進一步的提高教師的教學水平，從而提高教學質量。

7、在本學期最後階段，組織討論有關期末考試出題的安排，並總結一學期來的教學工作等。

二、本學期的活動計劃

第幾周、工作內容：

1-2初期教學檢查，地區科技局課題申報交流

3-4人才培養方案的討論，各類大綱的編寫討論；集體備課

5-6組織年輕教師隨堂聽老教師課；

7-8集體備課；教學相長會

9-10提醒將要進行中期教學檢查

11-12集體備課；開展一次茶話會(或娛樂活動)

13-14相關課程建設的討論

15-16期末試卷的出題的討論和安排；集體備課；提醒將要期末終期檢查

17-19期末教學檢查和下學期教師任務安排等

數學建模優秀論文 篇七

數學建模國賽A題優秀論文

嫦娥三號軟着路軌道設計與控制策略

本文主要為分階段研究嫦娥三號的軟着陸軌道設計與最優控制策略。

建立模型一確定近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號速度大小與方向。首

先以月球中心為座標原點建立空間座標系，根據計算的作用力可知地球影響較小，故忽略不計。然後將嫦娥三號軟着陸看作拋物線的運動過程，計算在最大推力下的減速運動，求得月面偏移距離為，由此計算出偏移角度為°。從而得出近月點和遠月點的經緯度分別為（°W，°N）和（°E，°S）。最後在軟着陸的橢圓軌道上，由動力勢能和重力勢能的變化，計算出嫦娥三號在遠月點和近月點的速度分別為，沿軌道切線方向。

建立模型二和模型三確定着陸軌道和在6個階段的最優控制策略。模型二主

建立模型四做相應的誤差分析和敏感性分析。首先以模型二為基礎進行誤差

分析，當主減速階段的推力、初始質量變化時，計算嫦娥三號質量和燃料消耗速率的變化趨勢。再以模型三為基礎進行分析，對初始高度變化前後主減速階段的的偏角和和着陸軌道進行對比分析並計算誤差。然後進行敏感性分析，主要利用蒙特卡洛分析着陸軌道的粗避障階段和精避障階段月面不同地形高度，對嫦娥三號降落時所需調整概率大小的影響，接着分析嫦娥三號着陸佔地面積大小對着陸調整概率的影響。

1.問題重述

嫦娥三號於12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。

嫦娥三號在着陸準備軌道上的運行質量為，其安裝在下部的主減速發動機能夠產生1500N到7500N的可調節推力，其比衝（即單位質量的推進劑產生的推

力）為2940m/s，可以滿足調整速度的控制要求。在四周安裝有姿態調整發動機，在給定主減速發動機的推力方向後，能夠自動通過多個發動機的脈衝組合實現各

種姿態的調整控制。嫦娥三號的預定着陸點為，，海拔為-2641m。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區域內實現軟着陸，關鍵問題是着陸軌道與控制策略的設計。其着陸軌道設計的基本要求：着陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；着陸軌道為從近月點至着陸點，其軟着陸過程共分為6個階段，要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態；儘量減少軟着陸過程的燃料消耗。

根據上述的基本要求，請你們建立數學模型解決下面的問題：

（1）確定着陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號的着陸軌道和在6個階段的最優控制策略。

（3）對於你們設計的着陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。

2.問題的分析

本文所研究的問題一主要為基礎計算和物理知識，首先我們需要根據預定的

着陸點的經緯度確定軌道，然後通過拋物線的運動計算出在月球着陸時的水平路程，然後計算出偏移角度，據此確定近月點的經緯度，而嫦娥三號的着陸軌道為過月球中心點的橢圓軌道，所以遠月點的經緯度和近月點對稱，則可以由近月點計算出遠月點的經緯度。最後因為在着陸軌道上衞星的能量守恆，則可以通過勢能和動能的轉換來計算嫦娥三號的速度和方向。

本文所研究的問題二主要為過程的最優控制和建立嫦娥三號軟着陸軌道。因

為嫦娥三號的軟着陸主要分為六個階段，所以此問應分為六個階段來求解。主減速階段採用燃料最優制導律來分析，建立着陸座標系，將最優燃耗軟着陸問題轉化為最短時間控制問題，然後得到目標函數；快速調整階段採用重力轉彎制導，對嫦娥三號進行受力分析，得到嫦娥三號的動力學模型，然後計算出燃耗最優控制，並畫出仿真圖；粗避障階段採用多項式制導，首先列出加速度、速度、位移的多項式，然後通過初始狀態和末端狀態反解多項式係數進而求取標稱軌跡；精避障階段首先設定嫦娥三號的體型大小，然後處理數據的數量級不同，最後在整個降落區域的範圍內搜索最優着陸點；由於在緩速下降和自由落體階段中，發動機已經關閉，故僅對其做簡單物理分析。最後通過整個分析得出總的着陸軌道。

本文所研究的問題三主要為着陸軌道和控制策略做誤差分析和敏感度分析，

需要對問題二所設計的着陸軌道和控制策略中的發動機推力、初始速度、初始高度進行誤差分析。然後進行敏感度分析，即對着陸軌道的粗避障階段和精避障階段月面不同地形高度對嫦娥三號降落時所需調整概率大小的影響，最後分析嫦娥三號着陸佔地面積大小對着陸調整概率的影響。

3.模型的假設

假設一：嫦娥三號與月球均不受其他行星及衞星的影響

假設二：不考慮月球繞地及其他星球的公轉和月球的自轉

假設三：將月球近似的看做標準球體

假設四：嫦娥衞星的燃料消耗主要是在着陸的主減速階段

假設五：軟着陸的四、五、六階段着陸軌跡基本在同一平面內

4.符號與公式的約定和説明

： G=為引力常量，m、M分別為兩物體質量，R為兩物體距離，為兩

物體間的作用力

： 為物體質量，為物體在作用下產生的加速度

： 軟着陸起始速度

： 加速度

：平拋產生的距離

： 物體的動能（

： 物體的重力勢能（

： 嫦娥三號的推力

： 偏好係數

： 降落地點總體得分

： 第段離散段的平均加速度

由於本文使用參數和公式較多，其他公式和符號在具體模型中再做説明。

5.模型的建立與求解

模型一的建立

模型的假設

由萬有引力公式計算，再由牛頓第二定律計算地球和月球在近月點和遠月點處的`重力加速度。

三號與月球影響很小，故可忽略不計。所以本模型只考慮月球對嫦娥三號的影響。

模型的分析

根據附件2給出的軟着陸過程示意圖，即嫦娥三號將在近月點15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒公里逐漸降為零。整個過程大概需要750秒，我們將其看作勻減速運動過程。利用matlab繪製嫦娥三號繞月飛行的三維動態圖，更直觀的反應嫦娥三號的環月飛行，如圖3（源程序見附錄）：

圖2 嫦娥三號繞月軌道座標圖 圖3 嫦娥三號環月飛行

同時由附件二所給的嫦娥三號着陸區域和着陸點示意圖可知，只要保證嫦娥三號的着陸區域在虹灣着陸區，則認為着陸成功。

為保證嫦娥三號以最大概率降落到精準的着陸點和虹灣着陸區，經分析後得出，選擇以北緯°作為軟着陸的繞月軌道。在這種確定緯度的繞月軌道中，月球對嫦娥三號的萬有引力，可以分解為兩個方向。一個是繞月的向心力，一個是與繞行面相切的力，則選擇最終狀態為繞赤道運行更為準確。故根據實際分析，嫦娥三號的繞月平面應與南北極軸重合。

圖4 嫦娥三號繞月飛行軌道分析

模型的建立與計算

據瞭解，嫦娥三號主發動機是目前中國航天器上最大推力的發動機，能夠產生從1500牛到7500牛的可調節推力，故可根據推力範圍求取嫦娥三號的加速度範圍。並用最大的加速度計算平拋產生的距離。

主減速段看作平拋運動：

起始速度

加速度的取值範圍

平拋產生的距離 （

圖5 嫦娥三號拋物示意圖

由上圖，並結合計算所得的拋物距離，得到準備着陸的點與軟着陸點相差°，即可算出近月點的經緯度，同時根據對稱性，又可求得遠月點的經緯度。

由附件所給條件可知距離月球表面15km時，速度的大小為，則此速度看作近月點速度，在穩定的軌道下，從近月點到遠月點可看作重力勢能和動能相互轉換的過程，而遠月點距離地球表面為100km，可以計算重力勢能的變化，即可算出遠月點的速度：

(1)

根據以上公式可得出近月點與遠月點的速度（速度方向沿軌道切線方向），連同經緯度，如下表所示：

表6近月點、遠月點位置與速度

模型二的建立

模型的分析

本模型主要對主減速階段和快速調整階段進行初步分析

首先分析嫦娥三號在此階段的的受力情況，假設受力與豎直方向的夾角為：

圖7主減速階段受力分析圖 圖8 不考慮質量變化時的受力分析

利用動量守恆定律可得：

(2)

(3)

由題目和附件可知，嫦娥三號在運行過程中有燃料的消耗，本模型分為兩種情況考慮，一種為考慮質量變化，另一種為不考慮質量變化。由於主減速階段燃料消耗很大，故作為質量變化考慮；而快速調整階段速度很小，質量變化很小，故作為質量不變考慮。

考慮質量變化（主減速階段），推力大小

此階段的燃料的消耗量為

不考慮質量變化（快速調整階段）：由於值較小，可以通過姿態調整發動機進行微調，假設此階段質量的變化較小，則可以假設質量基本保持不變。

通過受力分析，可得到以下分析式：

最後得到燃料消耗為

(4)

模型的建立

建立目標規劃函數，計算最少的燃料消耗。由分析階段的計算可以得出總燃料消耗量：

(5)

由表達式可以畫出總燃料消耗量與質量和時間的關係

圖9 總燃料消耗量與時間的關係

由圖可以看出，嫦娥三號的質量隨時間遞增而減少，而燃料的消耗隨着時間遞增而增加。

模型三的建立

本模型為分階段深入分析嫦娥三號的着陸軌道和在6個階段的最優控制策略。 主減速階段制導控制律（燃料最優率制導[2]）

? 模型的準備

擬牛頓法是求解非線性優化問題最有效的方法之一。擬牛頓法只要求每一步迭代時知道目標函數的梯度。通過測量梯度的變化，構造一個目標函數的模

型使之足產生超線性收斂性。構造目標函數在當前迭代的二次模型和割線公式

預估―校正算法的方法包括三步四階Adams外插法和三步四階Adams內插法為了保證計算得精度，本文采用內插法

? 模型的分析與建立 嫦娥三號主減速階段從距離月球表面15km開始，由初

速度為 開始主減速。建立二維模型描述嫦娥三號在此階段的運動。令月心O為座標原點， y 指向動力下降段的開始制動點， x 向着陸器的開始運動方向，見下圖：

圖10 着陸座標系

由座標系可建立嫦娥三號的質心動力學方程，描述如方程組（6）：

（6）

式中： ,,和 分別為嫦娥三號的月心距、極角、角速度和質量；

為嫦娥三號沿方向上的速度；

為制動發動機的推力(固定的常值或0) ;

為其比衝；

為月球引力常數；

為發動機推力與當地水平線的夾角即推力方向角。

動力下降的初始條件由霍曼變軌後的橢圓軌道的近月點確定，終端條件為嫦娥三號在月面實現軟着陸。令初始時刻，終端時刻 不定，則此過程的約束條件可以表示為方程組（7）：

（7）

? 對的求解 月球軟着陸的最優軌道設計就是要在滿足上述初始條件和終端

約束條件的前提下， 調整推力大小和方向，使得嫦娥三號實現燃料最優軟着陸，則設燃料最優目標函數為表達式（8）：

（8）

在無奇異情況下，推力應為開關控制。要麼以最大推力工作，要麼以最小推力工作。但為了簡化問題，採用常值推力假設，即認為制動發動機一直以最大推力工作。這一方法一方面有利於優化，另一方面可降低發動機複雜性。採用常值推力假設後，月球最優燃耗軟着陸問題轉化為最短時間控制問題，即尋找實現軟着陸的最短時間，求解步驟如下：

： 確定一終端時間，滿足條件

： 求解無約束最優控制問題狀態方程式，終端時間為，性能指標為：

（9）

其中下標表示在時刻的取值。

： 根據終端能量特性修正，然後返回，直到。

終端時刻的初始值估計，由於軟着陸時着陸器能量為零，可知推力作用主要是抵消能量，將該能量等效為動能，則可推出等效速度為

假設採用脈衝推力模式，將該速度抵消需要消耗的燃料量為

而對於實際的有限推力模式，與相對應的時間為

（10）

式中為發動機燃料秒流量

最終得計算結果為：

因脈衝推力比有限推力消耗的燃料量少，所以使得該計算結果偏小。 ? 目標函數的求解 第二階段垂直方向上的減速最大值為

由文獻可知，為使衞星在第六階段自由落體，則快速調整階段的速度範圍為：

假設主減速階段衞星以一定角度提供向上的推動力，則等效速度為

由於值較小，故可以忽略不計。

此問題為終端時間固定型無約束最優控制問題，本模型將其轉化為非線性規劃問題，然後藉助於擬牛頓法和四階Admas 預測-校正積分格式快速求解。為保證優化精度，轉化方法採用計算量稍大但精度較高的直接離散化方法。

直接離散化方法將整個最優控制過程分成若干個時間段，時間段之間的端點稱為節點；選擇節點處的控制變量作為未知參數，通過插值得到整個最優控制過程的控制變量積分狀態方程；根據這些控制變量積分狀態方程形成目標函數，得到一個無約束數學規劃問題。具體如下：

(1) 將整個飛行時間分為N 個時間段，形成N+ 1 個時間節點 ( i = 0 ,1 , ?,

N) ,取時刻的控制量 為優化變量，共有N + 1 個變量；

(2) 整個飛行過程的控制量可以通過在各時間節點處線性插值得到；

(3) 採用擬牛頓法和四階Admas預測-校正積分，得到從到 積分狀態方程(6)

和目標函數(9)。

圖11 偏角和垂直速度隨時間變化的趨勢

快速調整段制導律（重力轉彎制導[4]）

? 模型的分析 由於在最終着陸段中，嫦娥三號的距月面距離只有 2 千米左

右，遠遠小於月球的半徑 1738 千米，因此在建模時可以忽略月球的曲率，將月面近似看為水平面；且考慮到在最終着陸段中嫦娥三號的切向速度只有幾十米每秒，設切向速度給嫦娥三號所帶來的離心加速度為，月球半徑為。因為嫦娥三號的切向速度為，則計算切向速度給嫦娥三號所帶來的離心加速度公式為：

因此可以忽略嫦娥三號的離心加速度，只考慮重力加速度。

? 模型的建立 假設嫦娥三號的下降軌跡在一個平面內，設制動發動機的比衝

為，秒耗量為，嫦娥三號的垂直高度為，切向速度為，質量為，制動發動機的推力方向與垂直方向夾角為。在以上假設條件下，我們對嫦娥三號進行受力分析，可以得到嫦娥三號的動力學模型為：

（12）

? 模型的最優解 為了使嫦娥三號在最終着陸段中的燃料消耗達到最小，則設

嫦娥三號軟着陸燃料消耗為：

（13）

對於重力轉彎制導法下的軟着陸模型，推力的燃耗最優控制是開關控制，而且開關次數最多不會超過 1 次。要實現嫦娥三號的終端狀態約束，嫦娥三號只能先進行自由落體，直到開關切換函數為 0 時，制動發動機工作，嫦娥三號進行制動減速，直至在到達月面時減速為 0,仿真圖如下所示：

圖12 快速調整階段運動狀態

粗避障段制導律（多項式制導[5] ）

? 模型的分析 嫦娥三號軟着陸粗避障階段持續時間較短，所以需要設計有效

的制導律使探測器能在有限的時間內跟蹤上標稱軌跡，外部環境的干擾是影響着陸精度的主要因素。所以，本模型首先給出了多項式，然後通過初始狀態和末端狀態反解多項式係數進而求取標稱軌跡，然後設計終端滑模製導律跟蹤標稱軌跡。

? 模型的建立 多項式形式的標稱軌跡規劃一般假設系統狀態變量為多項式，

基於邊界條件和着陸時間解相關係數。對於嫦娥三號粗避障階段，首先可以將着陸器的加速度表示為二次多項式的形式：

(14)

其中，和分別為待定常數矢量。對式（14）等式兩邊積分可以得到嫦娥三號的速度矢量和位置矢量的表達式為：

+ (15) + (16)

給定着陸時間和初末端狀態的情況下，可以解出：

? 模型的計算和分析 生成標稱軌道的仿真參數為着陸器在着陸點平移座標

下的初始位置矢量 ,初始速度矢量，着陸時間為，將參數代入到式（17）可得常矢量為：

基於光學圖像的粗障礙檢測就是利用月球巖石和坑的圖像特徵識別大障礙， 確定安全區域。根據巖石和坑的特徵，本文選取避障原則如下式：

圖13 粗避障階段的等高線

將此區域圖片看做的矩陣，進一步分割為個的矩陣。根據組成地面高度的矩陣，利用var函數求解計算每一個矩陣的方差。方差的大小代表地面的平坦程度。

圖14 粗避障階段最優着陸點

圖中白色區域為方差最小點，即為不考慮避障階段速度增量的值時，需要搜尋的最優着陸區域。 精避障階段

建模技術論文 篇八

關鍵詞：數學建模；建模協會；培訓

中圖分類號：G642.0 文獻標誌碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0184-02

一、引言

全國大學生數學建模競賽是由教育部高等教育司與中國工業與應用數學學會共同舉辦的，其目的在於激勵學生學習數學的積極性，提高學生建立數學模型和運用計算機技術解決實際問題的綜合能力。我院自2001年組織學生參加數學建模競賽以來，多次獲得全國一等獎、二等獎以及自治區一等獎等獎項，受到了同類院校的一致好評，但賽前培訓、競賽期間學生存在不少問題，文章以數學建模協會為視角，探討數學建模培訓體系，進一步提高學生數學建模興趣，促進學生數學建模水平，使數學建模培訓與數學建模競賽產生良性循環。

二、數學建模競賽培訓現狀及存在的問題

全國大學生數學建模競賽比賽方式是3個隊員為一組，在3天之內對一個實際問題給出一種數學表述，完成一篇包括問題的闡述分析、模型的假設和建立、計算結果及討論的科技論文。隊員在競賽期間可以查閲各種圖書資料，使用計算機和軟件，但不得與組外任何人討論。從歷年的賽題來看，競賽的內容涉及生活的各個方面，用到的數學知識有運籌理論、圖論、微分方程、概率論及數據處理等。從數學建模競賽的內容與要求來看，3個隊員要在3天之內求解一個實際問題並完成一篇高質量的科技論文是有困難的，如果沒有紮實的數學知識、不具備將數學知識轉化為求解實際問題的能力、沒有深厚的計算機功底以及缺乏必要的科技論文寫作訓練，要完成數學建模競賽指定內容要求是不可想象的。因此，絕大多數院校都在賽前開展培訓，一般安排在每年暑假，大約1個月的時間內完成培訓任務。我院的數學建模培訓也安排在暑期進行，分兩個階段對學生進行培訓。由於我院沒有數學專業的學生，故在第一個階段進行建模的數學知識模塊培訓，期間還要開展參加數學建模競賽的學生選撥工作。第二個階段進行數學軟件應用、科技論文寫作以及模擬訓練等培訓工作。可謂時間緊、任務重、強度大。然而，從學生培訓時的反映與競賽時的表現來看，效果不明顯，效率低下，學生主要存在以下問題。

1.問題分析與模型建立能力不足。數學建模最重要、最關鍵的步驟就是提煉數學模型。所謂提煉數學模型，就是對要求解的問題進行分析，將題目所描述的內容進行合理的抽象、假設、提煉、量化，把一個實際問題轉化包含問題假設、已知條件、求解目標的可數量化的應用問題，建立起揭示研究對象定量的規律性的數學關係式。一般説來，數學建模包含模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析以及模型檢驗6個步驟。而參加競賽的學生數學建模培訓的時間只有1個月，要想在這個1個月內的時間訓練成為一個合格的參賽人員，是比較困難的。因此，在建模的過程中，常常碰見學生面對實際問題手足無措、無從下手的情形；或者知道該怎麼做，卻不懂得如何表達成數學語言，建立數學模型；抑或建立了問題的數學模型不知道如何求解等。

2.計算機軟件、編程能力不足。模型建立後，需要求解模型。對於有些模型來説，求解是一個十分令人頭痛的問題，它需要藉助計算機軟件，有時還需要學生自己編輯程序來進行求解。這就要求學生能夠熟練地使用上述軟件，並且掌握有關軟件的編程環境、界面以及它的語法。於是在建模競賽過程中，經常發現有些學生知道模型要用計算機軟件來求解，但找不到模型求解的命令與函數；或者找到模型求解的命令與函數後，不知道如何輸入已知條件；求解後，看不懂結果以及如何進行誤差分析和靈敏度分析等。

3.建模論文寫作以及論文排版能力不足。數學建模論文基本內容包括摘要、問題重述、模型假設、模型建立、模型求解、模型檢驗、模型評價、參考文獻以及附錄等方面，是建模競賽最終成績的書面表達形式，是評定參與者成績好壞、獲獎級別高低的唯一依據。在建模論文的撰寫過程中，力求做到文字簡潔、表述準確、層次清晰、重點突出。要具備上述論文寫作能力，需要多讀、多寫，反覆練習，顯然，數學建模培訓中短短的幾天訓練達不到上述要求。

三、構建數學建模培訓體系

當前數學建模培訓及競賽中出現的這些問題，其原因在於培訓時間不足，如果培訓時間充裕，以上問題都可以得到很大程度的改善甚至解決。然而，按照現行的大學數學教學計劃，要到大二才學完所有的大學數學類課程，因此較理想的情況是讓大三的學生參加數學建模競賽，大四的同學由於面臨畢業、找工作、畢業實習、畢業設計以及寫畢業論文等事情，已經沒有心思參加建模競賽了。這樣看來，數學建模放在暑期培訓看似不明智，實屬無奈的選擇。當前，數學建模協會已在全國各大高校開展起來，這對培養學生數學建模興趣、提供學生充分獨立思考與研討的時間和機會起到重要而不可替代的作用。因此，可以通過數學建模協會這個社團組織，利用協會平時組織活動的時間，解決數學建模培訓時間不足的問題，進一步優化數學建模培訓體系。

1.發揮建模協會優勢，讓更多優秀學生參加數學建模。數學建模協會作為一個學生社團組織，與學生有着自然的親近。大學校園中有許多數學愛好者，他們對數學建模也有一定的認識，也有參加數學建模活動的願望，可以利用數學建模協會招新的機會，招納愛好數學且優秀的學生參加數學建模協會，其次協會不定期地組織報告會，邀請經驗豐富的指導教師做全校性數學建模報告，擴大數學建模協會影響，提高學生數學建模興趣，吸引更多的學生參加數學建模協會。或發揮數學建模協會社團作用，組織全校數學競賽，發現數學成績優秀的學生，邀請加入數學建模協會，進一步擴大數學建模協會，培育數學建模土壤，夯實數學建模基礎。

2.合理開展建模協會活動，普及數模知識，培養建模能力。數學建模培訓一個主要矛盾是培訓時間太少與培訓內容太多之間的矛盾，矛盾導致的結果主要表現在學生問題分析與模型建立能力、計算機軟件與編程能力、建模論文寫作以及論文排版能力等方面的不足。數學建模協會作為一個學生社團組織，可以利用開展活動的時間，普及數模知識，化解矛盾。由於數學建模協會大約在每年九月開學後招新，進行新老更替，之後人員相對固定，協會活動時間較多，可以進行系統的數模知識培訓。為使協會活動規範化、系統化，可針對數模知識建立培訓方案，有計劃、有目的的進行學習。例：在每年的秋季學期專門學習數學建模所涉及的數學知識，每週一個數學知識點；在每年的春季學期專門學習數學建模所涉及到的軟件以及科技論文的寫作，每週一個知識模塊。為進一步強化學習，增強效果，可以通過開設數學建模選修課的方式配合數模協會的數學建模培訓。例如，將數學建模選修課分成兩個學期選修，每年的秋季學期分專題講授數學建模所涉及到的數學知識；每年的春季學期講授數學建模軟件的使用、科技論文的排版以及數學建模論文的寫作等知識。參加數學建模協會的學生儘量要求他們選修數學建模課程，這樣學生可以先在數學建模選修課上學習數學建模知識，課後活動時間再對這些知識進行討論。協會以這種方式開展活動，有以下好處：首先減少學生共同活動時間。其次提高學習效率，增強信心。

3.利用建模協會，選撥數學建模隊員、優化建模組隊。大學生數學建模競賽作為一個羣眾性科技活動，其目的在於培養學生學習數學的積極性，提高學生建立數學模型和運用計算機技術解決實際問題的綜合能力，因此如何讓數學思維能力強、建立數學模型和運用計算機技術解決實際問題的綜合能力突出的學生參加數學建模競賽一直是數學建模指導教師令人費神的一件事。當前大多數院校都是通過校內競賽的方式來選撥隊員的，之後再通過數學建模培訓進行篩選，確定最終的參賽隊員。我院也是通過這種方式選撥的，一般選撥隊員與參賽隊員的比例為2：1。這種選撥方式有個明顯的弊端就是所有隊員都是來自校內競賽成績優秀的學生，而且校內競賽一般一年舉行一次，那些校內競賽發揮不理想但建模能力突出或計算機技術水平優秀的學生就沒法參加數學建模競賽。為確保每一位有能力的學生都能夠加入到建模競賽隊伍中來，可以通過校內競賽與建模協會推薦兩者相結合的方式選撥建模競賽學生。兩種方式相互補充、相得益彰，確保最優秀的學生加入競賽隊伍。

數學建模競賽不同於其他競賽，它是以隊為參賽單位，每隊3人。因此，好的團隊可以各取所長、優勢互補，隊員之間相互交流、相互鼓勵，充分發揮團隊合作精神，形成一股強大的凝聚力，這是取得好成績的重要保證。綜合來看，建模三人團隊中一人數學能力強、數學建模知識紮實，一人計算機能力突出、擅長算法編程，一人文字功底好、擅長寫作，這樣的人員配置是比較科學、合理的。然而，數學建模培訓時間緊、任務重，建模培訓教師無暇顧及培訓學生的個人能力，很容易形成人員配置混亂，造成人才浪費。數學建模協會正好可以彌補此不足，由於建模協會廣泛吸納愛好數學且成績優秀的學生，選撥隊員參加建模培訓時又有建模協會推薦的學生，因此參加競賽的學生絕大部分都來自建模協會，加上協會開展了近一年的活動，彼此之間都非常熟悉，哪個數學好、哪個計算機好、哪個寫作好大家都心中有數。所以，藉助於數學建模協會，可對參賽隊員進行合理的配置，優化建模組隊。

四、結束語

實踐表明，建模競賽成績與參賽學生的綜合素質、科學的建模培訓有很大關係。立足數學建模協會，可夯實數學建模競賽參賽學生的羣眾基礎，使更多、更有才華的學生參與數學建模；立足數學建模協會，可緩解數學建模培訓時間緊與任務重的矛盾，使建模培訓有更多的時間關注建模的重點與熱點的內容，並對其進行深入的討論，且使建模培訓留有時間讓學生進行模擬實戰訓練，進一步強化學習效果；立足數學建模協會，可改進建模培訓與競賽學生的選撥方式，可改善參賽隊員的組隊質量，使建模競賽的選撥與組隊更加公平、合理。綜上所述，立足數學建模協會，可減輕建模培訓與指導教師的壓力，促進建模培訓與建模競賽的良性發展，還原數學建模競賽羣眾性科技活動的本色，有利於學生綜合素質的進一步提高。

參考文獻：

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基金項目：桂林航天工業學院2013年度教學改革研究項目基金資助；新世紀廣西高等教育教學改革工程項目（2013JGA273）；桂林航天工業學院2013年度教學改革研究項目基金資助（2013JB27），高等教育教學改革工程項目（2013JGA273）。