數學充分必要條件的判斷技巧精品多篇

數學充分必要條件的判斷技巧 篇一

請檢查以下問題：1、藉助“晉升方向”瞭解必要和充分的條件。

如果是PQ，則下列語句等價：P是Q的充分條件，Q是P的必要條件；如果PQ，則P和Q是相互充要條件，或P的充要條件是Q，或Q的充要條件是P.

例1、如果a和B都是C的充要條件，D是a的必要條件，B是D的必要條件，那麼D是a（）

C的充要條件，B是C的充要條件a

C的充要條件D既不充分也不必要

解：解可以通過“推動方向”獲得。

從已知的AC，BC，ad，DB，我們可以推導出D和C之間的關係：從DB，BC，DC；從Ca，ad可以得到CD。

//CD，即D，是C.

2的一個充要條件。藉助子集的概念，我們理解了C.

2的充要條件。

如果把命題P和Q看作集合，當PQ，P是Q的充分條件，Q是P的必要條件，這裏可以用“小範圍推大範圍”來幫助記憶。

例2、（1） 如果P:x1，Q:X≥5，那麼P是Q.

（2）如果P:（X-1）（X-2）=0，Q:X=2，那麼Q是P.

解的條件：從集合的角度來看：（1）有QP in；（2）有PQ in。根據“小範圍推大範圍”的思想，我們知道：（1）P of是Q的一個必要條件，但不是充分條件；（2）qin是P的一個充要條件。3、藉助於原命題及其逆否定命題，我們可以理解其充要條件。

如果P:X≠1，如果y≠2，Q:X+y≠3，則P是Q.

解的條件：考慮其逆無命題：Q:X+y=3，P:X=1，y=2，顯然存在：PQ。

∴qp，即P是Q的一個必要條件，但不是充分條件。

簡言之，a可以推導出B，即a是B的充分條件，B是a的必要條件；B可以推導出a，説明B是a的充分條件，a是B的必要條件；a可以推導出B，B也可以推導出a，表示a是B的充要條件（簡稱充要條件），B也是a的充要條件，只要學生能熟練地運用上述方法來判斷充要關係，就能收到很好的效果。

數學充分必要條件的判斷技巧 篇二

一、藉助於“推出方向”理解充分條件與必要條件。

若pq,則下列説法等價:p是q的充分條件，q是p的必要條件。若pq,則稱p與q互為充要條件，或p的充要條件是q,或q的充要條件是p。

例1、若A、B都是C的充要條件，D是A 的必要條件，B是D的必要條件，則D是C的()

A充分不必要條件B必要不充分條件

C充要條件D既不充分也不必要條件

解:可用“推出方向”解。

由已知:AC,BC,AD,DB,可以推出D與C的關係:由DB,BC,得DC;由CA,AD,可得:CD。

∴CD,即D是C的充要條件。

二、藉助子集的概念理解充分條件與必要條件。

若將命題p、q看成集合，當pq時，p是q的充分條件，q是p的必要條件。這裏可以用“小範圍推出大範圍”幫助記憶。

例2、(1)若p:x>1,q:x≥5,則p是q的條件。

（2）若p:(x-1)(x-2)=0,q:x=2,則q是p的條件。

解:從集合角度考慮:(1)中有qp;(2)中有pq。根據“小範圍推出大範圍”知:(1)的p是q的必要但不充分條件；(2)中的q是p的充分但不必要條件。

三、藉助原命題與其逆否命題為等價命題理解充分條件與必要條件。

例3、若p:x≠1,若y≠2,q:x+y≠3,則p是q的條件。

解:考慮其逆否命題:q:x+y=3,p:x=1且y=2,顯然有:pq。

∴qp。即p是q的必要但不充分條件。

總之，A能推出B，説明A是B的充分條件，同時B是A的必要條件；B能推出A，説明B是A的充分條件，同時A是B的必要條件；A能推出B，同時B也能推出A，説明A是B的充分必要條件（簡稱充要條件）同時，B也是A的充要條件。只要同學們能夠熟練運用以上辦法進行充要關係的判斷，必定能收到良好的效果。

數學充分必要條件的判斷技巧【2】

判斷充分與必要條件的方法

一、定義法

可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分。在解答此類題目時，利用定義直接推導，一定要抓住命題的條件和結論的四種關係的定義。

例1 已知p:-2

分析 條件p確定了m，n的範圍，結論q則明確了方程的根的特點，且m，n作為係數，因此理應聯想到根與係數的關係，然後再進一步化簡。

解 設x1，x2是方程x2+mx+n=0的兩個小於1的正根，即0

而對於滿足條件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0並無實根，所以pq.

綜上，可知p是q的必要但不充分條件。

點評 解決條件判斷問題時，務必分清誰是條件，誰是結論，然後既要嘗試由條件能否推出結論，也要嘗試由結論能否推出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷。

二、集合法

如果將命題p，q分別看作兩個集合A與B，用集合意識解釋條件，則有：①若A?哿B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；②若A?芴B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件；③若A=B，則x∈A和x∈B互為充要條件；④若A?芫B且A?芸B，則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件。

例2 設x，y∈R，則x2+y2<；2是|x|+|y|≤的條件，是|x|+|y|<；2的條件。

A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件

C. 必要不充分條件？搖D. 充分不必要條件

解 如右圖所示，平面區域P={(x，y)|x2+y2<；2}表示圓內部分（不含邊界）；平面區域Q={(x，y)||x|+|y|≤}表示小正方形內部分（含邊界）；平面區域M={(x，y)||x|+|y|<；2}表示大正方形內部分（不含邊界）。

由於（，0）？埸P，但（，0）∈Q，則P?芸Q.又P?芫Q，於是x2+y2<；2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.

同理P?芴M，於是x2+y2<；2是|x|+|y|<；2的充分不必要條件，故選D.

點評 由數想形，以形輔數，這種解法正是數形結合思想在解題中的有力體現。數形結合不僅能夠拓寬我們的解題思路，而且也能夠提高我們的解題能力。

三、逆否法

利用互為逆否命題的等價關係，應用“正難則反”的數學思想，將判斷“p?圯q”轉化為判斷“非q?圯非p”的真假。

例3 (1)判斷p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什麼條件；

（2） 判斷p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什麼條件。

解 (1)原命題等價於判斷非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什麼條件。

顯然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要條件。

（2） 原命題等價於判斷非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什麼條件。

因為非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件。

點評 當命題含有否定詞時，可考慮通過逆否命題等價轉化判斷。

四、篩選法

用特殊值、舉反例進行驗證，做出判斷，從而簡化解題過程。這種方法尤其適合於解選擇題。

例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是

A. 0

解 利用特殊值驗證：當a=0時，x=-，排除A，D;當a=1時，x=-1，排除B.因此選C.

點評 作為選擇題，利用篩選法避免了複雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優化，節省了時間，提高了解題的速度，因此同學們應該注意解題方法的選擇使用。

五、傳遞法

充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn 。同樣，充要條件也有傳遞性。對於比較複雜的具有一定連鎖關係的條件，兩個條件間關係的判斷也可用傳遞法來加以處理。

例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那麼p是q的

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

解 由題意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那麼可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的'充分不必要條件，故選A.

點評 對於兩個以上的較複雜的連鎖式條件，利用傳遞性結合符號“？圯”與“”，畫出它們之間的關係結構圖進行判斷，可以直觀快捷地處理問題，使問題得以簡單化。

1、求三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根的充要條件。

1、三個方程均無實根的充要條件是

Δ1=16a2-4(-4a+3)<；0，Δ2=(a-1)2-4a2<；0，Δ3=4a2-4(-2a)<；0.