高中數學冪函數的性質總結【精品多篇】

函數判定 篇一

冪函數的一般形式是y=x，其中，n可為任何實數，但中學階段僅研究n為有理數的`情形，這時可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質。特別，當k=1時為整數指數冪。

(1)當m，k都為正奇數時，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數；

(2)當m為負奇數，k為正奇數時，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數；

(3)當m為正奇數，k為正偶數時，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數；

(4)當m為負奇數，k為正偶數時，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數；

(5)當m為正偶數，k為正奇數時，如y=x，y=x^(2/3)等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數；

(6)當m為負偶數，k為正奇數時，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數。、[1]

高一數學冪函數知識點總結 篇二

1、函數的單調性（局部性質）

（1）增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

如果對於區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那麼就説f(x)在這個區間上是減函數。區間D稱為y=f(x)的單調減區間。

注意：函數的單調性是函數的局部性質；

（2）圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那麼説函數y=f(x)在這一區間上具有（嚴格的）單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的。

（3）函數單調區間與單調性的判定方法

(A)定義法：

a.任取x1，x2∈D，且x1

b.作差f(x1)-f(x2)；

c.變形（通常是因式分解和配方）；

d.定號（即判斷差f（x1）-f(x2)的正負）；

e.下結論（指出函數f（x）在給定的區間D上的單調性）。

(B)圖象法（從圖象上看升降）

(C)複合函數的單調性

複合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”

注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集。

8、函數的奇偶性（整體性質）

（1）偶函數

一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函數。

（2）奇函數

一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函數。

（3）具有奇偶性的函數的圖象的特徵

偶函數的圖象關於y軸對稱；奇函數的圖象關於原點對稱。

利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

a.首先確定函數的定義域，並判斷其是否關於原點對稱；

b.確定f(-x)與f(x)的關係；

c.作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數。

注意：函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。首先看函數的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數。若對稱，(1)再根據定義判定；(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定；(3)利用定理，或藉助函數的圖象判定。

9、函數的解析表達式

（1）。函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域。

（2）求函數的解析式的主要方法有：

1)湊配法

2)待定係數法

3)換元法

4)消參法

10、函數最大（小)值(定義見課本p36頁）

a.利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大(小)值

b.利用圖象求函數的最大(小)值

c.利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

冪函數知識點總結 篇三

1、冪函數解析式的右端是個冪的形式。冪的底數是自變量，指數是常數，可以為任何實數；與指數函數的`形式正好相反。

2、冪函數的圖像和性質比較複雜，大學聯考只要求掌握指數為1、2、3、-1、時冪函數的圖像和性質。

3、瞭解其它冪函數的圖像和性質，主要有：

①當自變量為正數時，冪函數的圖像都在第一象限。指數為負數的冪函數都是過點(1，1)的減函數，以座標軸為漸近線，指數越小越靠近

x軸。指數為正數的冪函數都是過原點和(1，1)的增函數；在 x=1的右側指數越大越遠離 x 軸。

②冪函數的定義域可以根據冪的意義去求出：要麼是x≥0，要麼是關於原點對稱。前者只在第一象限有圖像；後者一定具有奇偶性，利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。

③定義域關於原點對稱的冪函數一定具有奇偶性。當指數是偶數或分子是偶數的分數時是偶函數；否則是奇函數。

4、冪函數奇偶性的一般規律：

⑴指數是偶數的冪函數是偶函數。

⑵指數是奇數的冪函數是奇函數。

⑶指數是分母為偶數的分數時，定義域 x>0或 x≥0，沒有奇偶性。

⑷指數是分子為偶數的分數時，冪函數是偶函數。

⑸指數是分子分母為奇數的分數時，冪函數是奇數函數。

函數特性 篇四

對於α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

α為約分數

如果α=p/q，且p/q為、既約分數(即p，q、互質)，q和p都是、整數，則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方)。如果q是、奇數，函數的、定義域是R;如果q是、偶數，函數的、定義域是[0,+∞)。

α為負整數

當指數α是、負整數時，設α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在、偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

α小於0時，x不等於0;

α的分母為偶數時，x不小於0;

α的分母為奇數時，x取R。

冪函數知識點總結 篇五

掌握冪函數的內部規律及本質是學好冪函數的關鍵所在，下面是整理的冪函數公式大全，希望對廣大朋友有所幫助。

定義：

形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

定義域和值域：

當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數；如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

(2)當a大於0時，冪函數為單調遞增的，而a小於0時，冪函數為單調遞減函數。

(3)當a大於1時，冪函數圖形下凹；當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸)本站○(。

(4)當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0，函數過(0，0);a小於0，函數不過(0，0)點。

(6)顯然冪函數無界。

討論分析 篇六

由於x大於0是對α的、任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在各、象限的各自情況。可以看到：

(1)所有的圖像都通過(1，1)這點。(α≠0)、α>0時、圖象過點(、0，0)和(1，1)。

(2)、單調區間：

當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：

①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增；

②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增；

③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減(但不能説在定義域R內單調遞減);

④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。

當α為分數時，α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：

①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增；

②當α>0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞增；

③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減；

④當α<0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞減(但不能説在定義域R內單調遞減);

(3)當α>1時，冪函數圖形下凹(豎拋);

當0<α<1時，冪函數圖形上凸(橫拋);

當α<0時，圖像為雙曲線。

(4)在(0,1)上，冪函數中α越大，函數圖像越靠近x軸；在(1，﹢∞)上冪函數中α越大，函數圖像越遠離x軸。

(5)當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。

(6)顯然冪函數無界限。

(7)α=2n(n為整數),該函數為偶函數、{x|x≠0}。

高一數學冪函數知識點總結 篇七

一、高中數學函數的有關概念

1、高中數學函數函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於函數A中的任意一個數x，在函數B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從函數A到函數B的一個函數。記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的函數{f(x)|x∈A}叫做函數的值域。

注意：

函數定義域：能使函數式有意義的實數x的函數稱為函數的定義域。

求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

（1）分式的分母不等於零；

（2）偶次方根的被開方數不小於零；

（3）對數式的真數必須大於零；

（4）指數、對數式的底必須大於零且不等於1.

（5）如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的。那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的函數。

（6）指數為零底不可以等於零，

（7）實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。

相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致（兩點必須同時具備）

2、高中數學函數值域:先考慮其定義域

（1）觀察法

（2）配方法

（3）代換法

3、函數圖象知識歸納

（1）定義：在平面直角座標系中，以函數y=f(x)，(x∈A)中的x為橫座標，函數值y為縱座標的點P(x，y)的函數C，叫做函數y=f(x)，(x∈A)的圖象。C上每一點的座標(x，y)均滿足函數關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上。

（2）畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4、高中數學函數區間的概念

（1）函數區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

（2）無窮區間

5、映射

一般地，設A、B是兩個非空的函數，如果按某一個確定的對應法則f，使對於函數A中的任意一個元素x，在函數B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：AB為從函數A到函數B的一個映射。記作“f（對應關係）：A（原象）B(象)”

對於映射f：A→B來説，則應滿足：

（1）函數A中的每一個元素，在函數B中都有象，並且象是唯一的；

（2）函數A中不同的元素，在函數B中對應的象可以是同一個；

（3）不要求函數B中的每一個元素在函數A中都有原象。

6、高中數學函數之分段函數

（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

（2）各部分的自變量的取值情況。

（3）分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集。

補充：複合函數

如果y=f(u)(u∈M)，u=g(x)(x∈A)，則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的複合函數。

函數性質 篇八

冪函數的、圖象一定會出現在、第一象限內，一定不會出現在、第四象限，至於是否出現在第二、三象限內，要看函數的、奇偶性；冪函數的圖象最多隻能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與、座標軸相交，則交點一定是、原點。

正值性質

當α>0時，冪函數y=x、α有下列性質：

a、圖像都經過點(1,1)(0,0);

b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是、增函數；

c、在第一象限內，α>1時，、導數值逐漸增大；α=1時，導數為、常數；0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近於0;

負值性質

當α<0時，冪函數y=x、α有下列性質：

a、圖像都通過點(1,1);

b、圖像在區間(0，+∞)上是、減函數；(內容補充：若為X、-2，易得到其為、偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間(-∞，0)上單調遞增。其餘偶函數亦是如此)

c、在、第一象限內，有兩條漸近線(即座標軸)，、自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。

零值性質

當α=0時，冪函數y=x、a有下列性質：

a、y=x、0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。