函數的圖像【新版多篇】

函數的圖像 篇一

今天我説課的題目是《一次函數的圖像》，所選用的教材為華師大版義務教育階段國中數學實驗教材第四冊。

根據新課標的理念，對於本節課，我將以教什麼，怎樣教，為什麼這樣教為思路，從教材分析，學情分析，教學目標分析，教學方法分析，教學過程分析，教學評價六個方面加以説明。

一。教材分析

1.教材的地位和作用

本節教材是國中數學 8年級(下)第18章第3節第二課時的內容，函數是數學中重要的基本概念之一，也是國中數學的重要內容之一，它揭示了現實世界中數量關係之間相互依存和變化的實質，是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型。第18章，既是學生函數的入門，也是進一步學習的基礎。

作為本節內容，一方面，這是在學習了《變量與函數》、《函數的圖像》的基礎上，對函數意義的進一步深入和拓展；另一方面，又為學習《一次函數的性質》等知識奠定了基礎，是進一步研究現實世界中數量關係的工具性內容。鑑於這種認識，我認為，本節課不僅有着廣泛的實際應用，而且起着承前啟後的作用。

2.教學重難點

根據以上對教材的地位和作用，以及學情分析，結合新課標對本節課的要求，我將本節課的重點確定為：一次函數與正比例函數概念、圖像的理解；難點確定為：k、b的取值與一次函數圖像位置的關係。

二。學情分析

從心理特徵來説，國中階段的學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨着迅速發展。但同時，這一階段的學生好動，注意力易分散，愛發表見解，希望得到老師的關注或表揚，所以在教學中應抓住這些特點，一方面運用直觀生動的形象，引發學生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面，要創造條件和機會，讓學生髮表見解，發揮學生學習的主動性。

從認知狀況來説，學生在此之前已經學習了《變量與函數》、《函數的圖像》，對函數的意義已經有了初步的認識，這為順利完成本節課的教學任務打下了基礎，但對於函數圖像的理解，由於其抽象程度較高，學生可能會產生一定的困難，所以教學中應注意發展學生數形結合的思想。

三。教學目標分析

新課標指出，教學目標應包括知識與技能目標，過程與方法目標，情感、態度、價值觀目標這三個方面，而這三維目標又應是緊密聯繫的一個有機整體，學生學會知識與技能的過程同時也是學生學會學習，形成正確價值觀的過程，這告訴我們，在教學中應以知識與技能為主線，滲透情感態度價值觀，並把這兩者充分體現在過程與方法中。

1.知識與技能

理解一次函數和正比例函數的圖象是一條直線，熟練地作出一次函數和正比例函數的圖象，掌握 k與b的取值對直線位置的影響。

2.過程與方法

經歷一次函數的作圖過程，探索某些一次函數圖象的異同點；

3.情感態度與價值觀

體會用類比的思想研究一次函數，體驗研究數學問題的常用方法：由特殊到一般，由簡單到複雜。

四。教學方法分析

現代教學理論認為，在教學過程中，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者，教學的一切活動都必須以強調學生的主動性、積極性為出發點。根據這一教學理念，結合本節課的內容特點和學生的年齡特徵，本節課我採用啟發式、討論式以及講練結合的教學方法，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發展區”設置問題，倡導學生主動參與教學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的知道下發現、分析和解決問題，在引導分析時，給學生流出足夠的思考時間和空間，讓學生去聯想、探索，從真正意義上完成對知識的自我建構。

五。教學過程分析

新課標指出，數學教學過程是教師引導學生進行學習活動的過程，是教師和學生間互動的過程，是師生共同發展的過程。為有序、有效地進行教學，本節課我主要安排以下教學環節：

(一)創設情境

前面我們學習了用描點法畫函數的圖象的方法，下面請同學們根據畫圖象的步驟：列表、描點、連線，在同一平面直角座標系中畫出下列函數的圖象。

(1)y=-1/2x ;(2)y=-1/2x+2; (3) y=3x; (4) y=3x+2。

教學説明：

第一步、對於函數(1)應結合以前函數圖像的作法詳細講解。特別注意學生在列表取值，平面直角座標系的正方向、單位長度，描點的正確性等學生作圖的易錯點。

第二步、學生自主完成函數(2)的圖像。

第三步、同學們觀察並互相討論，並回答：你所畫出的圖象是什麼形狀？

一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線，這條直線通常又稱為直線y=kx+b(k≠0).又因為兩點可以確定一條直線，所以今後畫一次函數圖象時只要取兩點，過兩點畫一條直線就可以了。

第四步、學生用兩點法作出函數(3)(4)的圖像。

觀察上面四個函數的圖象，發現它們都是直線。請同學舉例對他們的發現作出驗證。

設計意圖：教學應從學生已有的知識體系出發，作函數圖像是本節課深入研究一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象的認知基礎，這樣設計有利於引導學生順利地進入學習情境。

(二)探究歸納

再觀察上面四個函數的圖象，也就是k、b的取值與一次函數圖像位置的關係：

(1) y=-1/2x+2是由直線y=-1/2x向上移動2個單位得到的；而直線y=3x+2是由直線y=3x分別向上移動2個單位得到的。

(2) y=-1/2x+2與y=3x+2的交點在同一點，是因為兩條直線的b相同；即直線與y軸的交點縱座標取決於b。

由此得出結論，兩個一次函數，當k一樣，b不一樣時有共同點：直線平行，都是由直線y=kx(k≠0)向上或向下移動得到；

不同點：它們與y軸的交點不同。

而當兩個一次函數，b一樣，k不一樣時，有共同點：它們與y軸交於同一點(0，b);不同點：直線不平行。

補充説明：由於上述函數只有b>0的情況，不能體現將正比例函數向下平移，因此我在教學中讓學生自主完成了b<0時的圖像以利於學生理解圖像向下平移的情況。

設計意圖：現代數學教學理論認為：教學必須在學生自主探索，經驗歸納的基礎上獲得，教學中必須展現思維的過程性，在這裏，通過觀察分析、獨立思考、小組交流等活動，引導學生歸納使學生有一個完整的知識形成過程。

(三)實踐應用

1.完成課本例1

注意引導讓學生討論、交流，及時反饋知識在實際中的應用。

2.完成課後練習

設計意圖：幾道例題及練習題由淺入深、由易到難、各有側重，體現新課標提出的讓更多的學生在數學上得到不同發展的教學理念。這一環節總的設計意圖是反饋教學，內化知識。

(四) 小結歸納，拓展深化

我的理解是，小結歸納不應該僅僅是知識的簡單羅列，而應該是優化認知結構，完善知識體系的一種有效手段，為充分發揮學生的主體作用，應從學習的知識、方法、體驗幾個方面進行歸納，我設計了這麼三個問題：

① 通過本節課的學習，你學會了哪些知識；

② 通過本節課的學習，你最大的體驗是什麼；

③ 通過本節課的學習，你掌握了哪些學習數學的方法？

(五)佈置作業，提高升華

以作業的鞏固性和發展性為出發點，我設計了必做題和選做題，必做題是對本節課內容的一個反饋，選做題是對本節課知識的一個延伸。總的設計意圖是反饋教學，鞏固提高。

以上幾個環節環環相扣，層層深入，並充分體現教師與學生的交流互動，在教師的整體調控下，學生通過動腦思考、層層遞進，對知識的理解逐步深入，使課堂效益達到最佳狀態。

六。教學評價

本課教學注意挖掘教材，體現學生的主體地位；同時以問題為載體，探究為主線，有意識地留給學生適度的思維空間，從不同視角上展示不同層次學生的學習水平，使傳授知識與培養能力融為一體 。

函數的圖象 篇二

函數的圖象

教學目標

（一）知道函數圖象的意義；

（二）能畫出簡單函數的圖象，會列表、描點、連線；

（三）能從圖象上由自變量的值求出對應的函數的近似值。

教學重點和難點

重點：認識函數圖象的意義，會對簡單的函數列表、描點、連線畫出函數圖象。

難點：對已恬圖象能讀圖、識圖，從圖象解釋函數變化關係。

教學過程 設計

（一）複習

1.什麼叫函數？

2.什麼叫平面直角座標系？

3.在座標平面內，什麼叫點的橫座標？什麼叫點的縱座標？

4.如果點A的橫座標為3，縱座標為5，請用記號表示A（3，5）.

5.請在座標平面內畫出A點。

6.如果已知一個點的座標，可在座標平面內畫出幾個點？反過來，如果座標平面內的一個點確定，這個點的座標有幾個？這樣的點和座標的對應關係，叫做什麼對應？（答：叫做座標平面內的點與有序實數對一一對應）

（二）新課

我們在前幾節課已經知道，函數關係可以用解析式表示，像y=2x+1就表示以x 為自變量時，y是x的函數。

這個函數關係中，y與x的函數。

這個函數關係中，y與x的對應關係，我們還可通知在座標平面內畫出圖象的方法來表示。

具體做法是

第一步：列表。（寫出自變量x與函數值的對應表）先確定x的若干個值，然後填入相應的y值。

函數式y=2x+1

自變量x

-2

-1

0

1

2

函數值y

-3

-1

1

3

5

（這種用表格表示函數關係的方法叫做列表法）

第二步：描點，對於表中的每一組對應值，以x值作為點的橫座標，以對應的y值作為點的縱座標，便可畫出一個點。也就是由表中給出的有序實數對，在直角座標系中描出相應的點。

第三步     連線，按照橫座標由小到大的順序把相鄰兩點用線段連結起來，得到的圖形就是函數式y=2x+1的圖象。圖13-24

例1          在同一直角座標系中畫出下列函數式的圖象：

（1）y=-3x;(2)y=-3x+2; (3)y=-3x-3

分析：按照列表、描點、連線三步操作。

解：

函數式（1）y=-3x

自變量x

-2

-1

0

1

2

函數y

6

3

0

-3

-6

函數（2）y=-3x+2

自變量x

-2

-1

0

1

2

函數y

8

5

2

-1

-4

函數（3）y=-3x-3

自變量x

-2

-1

0

1

2

函數y

3

0

-3

-6

-9

它們的圖象分別是圖13-25中的（1）（2）（3）。

例2     某化工廠1月到12月生產某種產品的統計資料如下：

X/月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Y/產品噸數

2

3

3

4

5

6

6

6

5

4

5

7

（1）在直角座標系中以月份數作為點的橫座標，以該月的產值作為點的縱座標畫郵對應的點。把12個點畫在同一直角座標系中。

（2）按照月份由小到大的順序，把每兩個點用線段連接起來。

（3）解讀圖象：從圖説出幾月到幾月產量是上升的、下降的或不升不降的。

（4）如果從3月到6月的產量是持逐平穩增長的，請在圖上查詢4月15日的產量大約是多少噸？

解：（1），（2）見圖13-26

（3）產量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升。

產量下降：8月到9月，9月到10月。

產量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月。

（4）過x軸上的4.5處作y軸的平行線，與圖象交於點A,則點A的縱座標約4.5 ，所以4月15日的產量約為4.5噸。

（三）課堂練習

已知函數式y=-2x。用列表(x取-2,-1,2,1,2),描點，連線的程序，畫出它的圖象。

（四）小結

到現在，我們已經學過了表示函數關係的方法有三種：

1.解析式法——用數學式子表示函數的關係。

2.列表法——通過列表給出函數y與自變量x的對應關係。

3.圖象法——把自變量x作為點的橫座標，對應的函數值y作為點的縱座標，在直角座標系內描出對應的點，所有這些點的集合，叫做這個函數的圖象。用圖象來表示函數y與自變量x對應關係。

這三種表示函數的方法各有優缺點。

1.用解析法表示函數關係

優點：簡單明瞭。能從解析式清楚看到兩個變量之間的全部相依關係，並且適合進行理論分析和推導計算。

缺點：在求對應值時，有時要做較複雜的計算。

2.用列表表示函數關係

優點：對於表中自變量的每一個值，可以不通過計算，直接把函數值找到，查詢時很方便。

缺點：表中不能把所有的自變量與函數對應值全部列出，而且從表中看不出變量間的對應規律。

3.用圖象法表示函數關係

優點：形象直觀，可以形象地反映出函數關係變化的趨勢和某些性質，把抽象的函數概念形象化。

缺點：從自變量的值常常難以找到對應的函數的準確值。

函數的三種基本表示方法，各有各的優點和缺點，因此，要根據不同問題與需要，靈活地採用不同的方法。在數學或其他科學研究與應用上，有時把這三種方法結合起來使用，即由已知的函數解析式，列出自變量與對應的函數值的表格，再畫出它的圖象。

（五）作業

1.在圖13-27中，不能表示函數關係的圖形有

（A）（a）,(b),(c)  (B)(b),(c),(d) (C)(b),(c),(e)   (D)(b),(d),(e)

2.函數y= 的圖象是圖13-28中的（  ）

3.矩形的周長是12cm，設矩形的寬為x(cm)，面積為y(cm2).

(1)             以x為自變量，y為x的函數，寫出函數關係式，並在關係式後面註明x的取值範圍；

(2)             列表、描點、連線畫出此函數的圖象

4.（1）畫出函數y=- x+2的圖象（在-4與4之間，每隔1取一個x值，列表；並在直角座標系中描點畫圖）；

（2）判斷下列各有序實數對是不是函數。Y=- x+2的自變量x與函數y的一對對應值，如果是，檢驗一下具有相應座標的點是否在你所出的函數圖象上：

（-2，2 ），  （- ，2 ），    （-1，3）， （ ，1 ）

5.畫出下列函數的圖象：

（1）y=4x-1; (2)y=4x+1

6.圖13-29是北京春季某一天的氣温隨時間變化的圖象。根據圖象回答，在這一天：

（1）8時，12時，20時的氣温各是多少；

（2）最高氣温與最低氣温各是多少；

（3）什麼時間氣温最高，什麼時間氣温最低。

7.畫出函斷y=x2的圖象（先填下表，再描點，然後用平滑曲線順次連結各點）：

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

8.畫出函數y= 圖象（先填下表，再描點，然後用平滑曲線順次連結各點）：

X

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

作業 的答案或提示

1.              選（C）,因為對應於x的一個值的y值不是唯一的。

2.              選(D)當x<0時， =-x,所以y= = =-1,當x>0時， =x，所以y= = =1

3.

（1）y=x(6-x)其中0

（2）

X

0

1

2

3

4

5

6

y

0

5

8

9

8

5

0

4.

Y=- x+2

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

3

3

2

2

2

1

1

1

經過檢驗，點（- ，2 ）及點（ ，1 ）在所畫的函數圖象上。

5.

Y=4x-1

X

-2

-1

0

1

2

y

-9

-5

-1

3

7

Y=4x+1

x

-2

-1

0

1

2

y

-7

-3

1

5

9

6.(1)8時約5℃，20時約10℃。（2）最高氣温為12℃，最低氣温為2℃。（3）14時氣温最高，4時氣温最低。

7.

Y=x2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

4

2.25

1

0.25

0

0.25

1

2.25

4

8.

Y=

X

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

-1

-

-

-2

-3

-6

6

3

2

1

課堂教學設計説明

1.在建立平面直角座標系後，點的座標（有序實數對）與座標平面內的點一一對應；不同的座標與不同的點一一對應；函數關係與動點軌跡一一對應，把抽象的數量關係與形象直觀的圖形聯繫起來，通過解讀圖象，瞭解抽象的數量關係，這種“數形結合”，是數學中的一種重要的思想方法。

2.本課的目標是使學生會畫函數圖象，並會解讀圖象，即會從圖象瞭解到抽象的數量關係。為此，先在複習舊課時，着重提問座標平面上的點與有序實數對一一對應，接着在新課開始時介紹了畫函數圖象的三個步驟。

3.教學設計中的例3，既訓練學生從已數據畫圖象，又訓練學生逆向思維、解讀圖象、在圖象上估計某日產量的能力，對函數圖象功能有一個完整的認識。

4.在小結中，介紹了函數關係的三種表示方法，並説明它們各自的優缺點，有利於對函數概念的透徹理解。

5.作業 中的第1-3題，對訓練函數圖象很有幫助。

第1題，目的要説明，對於x的一個值，y必須是唯一的值與之對應，而（b）(c)(e)都是對於x一個值，y有不止一個值與之對應，所以y不是x的函數，本題還訓練解讀圖形的能力。

第2題，訓練學生分類討論的數學思想，在去掉絕對值符號時，必須分x≥0與x<0討論。

第3題，訓練學生根據已知條件建立函數解析式，並列表、描點、連線畫出圖象的能力，這些都是學習函數問題時應具備的基本功。

函數的圖像 篇三

4.8 正弦函數、餘弦函數的圖像和性質（第二課時）

（一）教學具準備

直尺，投影儀。

（二）教學目標 

1.掌握 ， 的定義域、值域、最值、單調區間。

2.會求含有 、的三角式的定義域。

（三）教學過程 

1.設置情境

研究函數就是要討論一些性質， ， 是函數，我們當然也要探討它的一些屬性。本節課，我們就來研究正弦函數、餘弦函數的最基本的兩條性質。

2.探索研究

師：同學們回想一下，研究一個函數常要研究它的哪些性質？

生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等。

師：很好，今天我們就來探索 ， 兩條最基本的性質——定義域、值域。（板書課題正、餘弦函數的定義域、值域。）

師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、餘弦曲線的圖像。

師：請同學思考以下幾個問題：

（1）正弦、餘弦函數的定義域是什麼？

（2）正弦、餘弦函數的值域是什麼？

（3）他們最值情況如何？

（4）他們的正負值區間如何分？

（5） 的解集如何？

師生一起歸納得出：

（1）正弦函數、餘弦函數的定義域都是 .

（2）正弦函數、餘弦函數的值域都是 即 ， ，稱為正弦函數、餘弦函數的有界性。

（3）取最大值、最小值情況：

正弦函數 ，當 時，（ ）函數值 取最大值1，當 時，（ ）函數值 取最小值－1.

餘弦函數 ，當 ，（ ）時，函數值 取最大值1，當 ，（ ）時，函數值 取最小值－1.

（4）正負值區間：

（ ）

（5）零點： （ ）

（ ）

3.例題分析

【例1】求下列函數的定義域、值域：

（1） ； （2） ； （3） .

解：（1） ，

（2）由 （ ）

又∵ ，∴

∴定義域為 （ ），值域為 .

（3）由 （ ），又由

∴

∴定義域為 （ ），值域為 .

指出：求值域應注意用到 或 有界性的條件。

【例2】求下列函數的最大值，並求出最大值時 的集合：

（1） ， ； （2） ， ；

（3） （4） .

解：（1）當 ，即 （ ）時， 取得最大值

∴函數的最大值為2，取最大值時 的集合為 .

（2）當 時，即 （ ）時， 取得最大值 .

∴函數的最大值為1，取最大值時 的集合為 .

（3）若 ， ，此時函數為常數函數。

若 時， ∴ 時，即 （ ）時，函數取最大值 ，

∴ 時函數的最大值為 ，取最大值時 的集合為 .

（4）若 ，則當 時，函數取得最大值 .

若 ，則 ，此時函數為常數函數。

若 ，當 時，函數取得最大值 .

∴當 時，函數取得最大值 ，取得最大值時 的集合為 ；當 時，函數取得最大值 ，取得最大值時 的集合為 ，當 時，函數無最大值。

指出：對於含參數的最大值或最小值問題，要對 或 的係數進行討論。

思考：此例若改為求最小值，結果如何？

【例3】要使下列各式有意義應滿足什麼條件？

（1） ； （2） .

解：（1）由 ，

∴當 時，式子有意義。

（2）由 ，即

∴當 時，式子有意義。

4.演練反饋（投影）

（1）函數 ， 的簡圖是（      ）

（2）函數 的最大值和最小值分別為（     ）

A.2，－2       B.4，0        C.2，0         D.4，－4

（3）函數 的最小值是（     ）

A.          B.－2          C.           D.

（4）如果 與 同時有意義，則 的取值範圍應為（     ）

A.       B.       C.       D. 或

（5） 與 都是增函數的區間是（      ）

A. ，                B. ，

C. ，           D. ，

（6）函數 的定義域________，值域________， 時 的集合為_________.

參考答案：1.B   2.B   3.A  4.C  5.D

6. ； ；

5.總結提煉

（1） ， 的定義域均為 .

（2） 、的值域都是

（3）有界性：

（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的 集合為無限集。

（5）正負敬意及零點，從圖上一目瞭然。

（6）單調區間也可以從圖上看出。

（五）板書設計 

1.定義域

2.值域

3.最值

4.正負區間

5.零點

例1

例2

例3

課堂練習

課後思考題：求函數 的最大值和最小值及取最值時的 集合

提示：