不等式的基本性質教學設計精品多篇

不等式的基本性質教學設計 篇一

教學目的

掌握不等式的基本性質，會用不等式的基本性質進行不等式的變形。

教學過程

師：我們已學過等式，不等式，現在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7.

第二組：-7 < -5; 3+4 >1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.

生：第一組都是等式，第二組都是不等式。

師：那麼，什麼叫做等式？什麼叫做不等式？

生：表示相等關係的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

師：在數學熾，我們用等號“=”來表示相等關係，用不等式號“〈”、“〉”或“≠”表示不等關係，其中“＞”和“＜”表示大小關係。表示大小關係的不等式是我們中學教學所要研究的。

前面我們學過了等式，同學們還記得等式的性質嗎？

生：等式有這樣的性質：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數不為零）同一個數，所得到的仍是等式。

師：很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯想到，是否有與等式相類似的性質，也就是説，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經（除數不為零）同一個數，結果將會如何呢？讓我們先做一些試驗練習。

(回答)用小於號“<”或大於號“>”填空。

（1）7 ___ 4;（2）- 2____6;（3）- 3_____ -2；（4）- 4_____-6

練習2（口答）分別從練習1中四個不等式出發，進行下面的運算。

（1）兩邊都加上（或都減去）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

生：我們發現：在練習2中，第（1）、（2）題的結果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結果是不等號的方向改變了！

師：同學們觀察得很認真，大家再進一步探討一下，在什麼情況下不等號的方向就會發生改變呢？

生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數的情況下，不等號的方向要改變。

師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學不放心，讓我們再做一些試驗。

練習3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號的方向是否改變：

7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

師：現在我們可以歸納出不等式的基本性質，一般地説

不等式的基本性質教學設計 篇二

【教學目標】

1.通過具體情境讓學生感受和體驗現實世界和日常生活中存在着大量的不等關係，鼓勵學生用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學、改變學生的數學學習態度。

2．建立不等觀念，並能用不等式或不等式組表示不等關係。

3．瞭解不等式或不等式組的實際背景。

4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。

【重點難點】

重點：

１.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關係存在的普遍性及研究的必要性。

２.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關係，並用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關係的問題。

3.理解不等式或不等式組對於刻畫不等關係的意義和價值。

難點：

1.用不等式或不等式組準確地表示不等關係。

2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關係的實際問題。

【方法手段】

1.採用探究法，按照閲讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發式教學。

2.教師提供問題、素材，並及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用。

3.設計教典型的現實問題，激發學生的學習興趣和積極性。

【教學過程】

教學環節

教師活動

學生活動

設計意圖

導入新課

日常生活中，同學們發現了哪些數量關係。你能舉出一些例子嗎？

實例1.某天的天氣預報報道，最高氣温35℃，最低氣温29℃。

實例2.若一個數是非負數，則這個數大於或等於零。

實例3.兩點之間線段最短。

實例4.三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。

引導學生想生活中的例子和學過的數學中的例子。在老師的引導下，學生肯定會迫不及待的能説出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛，又激發了學生學習數學的興趣。

推進新課

同學們所舉的這些例子聯繫了現實生活，又考慮到數學上常見的數量關係，非常好。而且大家已經考慮到本節課的標題《不等關係與不等式》，所舉的實例都是反映不等量的關係。

（下面利用電腦投影展示兩個實例）

實例5：限時40km/h的路標，指示司機在前方路段行使時，應使汽車的速度v不超過40km/h。

實例6：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少於2.5%，蛋白質的含量p應不少於2.3%.

同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。

讓學生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以採用不等的數量關係來描述

過程引導

能夠發現身邊的數學當然很好，這説明同學們已經走進了數學這門學科，但是我們還要能用數學的眼光、數學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，那麼我們用什麼知識來表示這些不等關係呢？

什麼是不等式呢？

用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

能用不等式及不等式組把這些不等關係表示出來，也就是建立不等式數學模型的過程通過對不等式數學模型的研究，反過來作用於現實生活，這才是學習數學的最終目的。

思考並回答老師的問題：可以用不等式或不等式組來表示不等關係。

經過老師的啟發和點撥，學生可以自己總結出：用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。

目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式，並説明不等號≤，≥的含義，是或的關係。回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了。

此時學生已經迫不及待地想説出自己的觀點了。

合作探究

（一）。下面我們把上述實例中的不等量的關係用不等式或不等式組一一的表示出來，那應該怎麼表示呢？

這兩位同學的觀點是否正確？

老師要表揚學生：“很好！這樣思考問題很嚴密。”應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關係，也可以用“且”的形式來表達。

（二）。問題一：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點。

請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關係。

老師提示：藉助於圖形，這個問題是不是可以解決？

（下面讓學生板演，結合三角形草圖來表達）

問題（二）：某種雜誌原以每本2。5元的價格銷售，可以售出8萬本，據市場調查，若單價每提高0。1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價後雜誌的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低於20萬元呢？

是不是還有其他的思路？

為什麼可以這樣設？

很好，請繼續講。

這位學生回答的很好，表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。

問題（三）：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關係的不等式？

假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據題意，應當有什麼樣的不等量關係呢？

右邊的三個不等關係是“或”還是“且”的關係呢？

這位學生回答得很好，思維很嚴密，那麼該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關係呢？

通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關係表示出來，這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1，2。

課堂小結：

1.學習數學可以幫助我們解決實際生活中的問題。

2.數學和我們的生活聯繫非常密切。

3.本節課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，並且能用它來解決現實生活中存在的大量不等量關係的實際問題。還要注意思維要嚴密，規範，並且要注意數形結合等思想方法的綜合應用。

佈置作業：

第75頁習題3.1 A組4，5。

29℃≤t≤35℃

x≥0

|AC|+|BC|>|AB|

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、

|AB|-|AC|<|BC|.交被減數與減數的位置也可以。

如果用表示速度，則v≤40km/h.

f≥2.5%或p≥2.3%

學生自己糾正了錯誤：這種表達是錯誤的，因為兩個不等量關係要同時滿足，所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關係，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

過點A作AC⊥平面於點C，則d=|AC|≤|AB|

可設雜誌的定價為x元，則銷售量就減少萬本。銷售量變為(8-)萬本，則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低於20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.

解法二：可設雜誌的單價提高了0.1n元，（n）

我只考慮單價的增量。

那麼銷售量減少了0.2n萬本，單價為（2.5+0.1n）元，則也可得銷售的總收入為不低於20萬元的不等式，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.

截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。

截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。

截得兩種鋼管的數量都不能為負數。

它們是同時滿足條件，應該是且的關係。由實際問題的意義，還應有x,y要同時滿足上述三個不等關係，可以用下面的不等式組來表示：

如果學生沒有想到的話，老師可以在黑板上板演示意圖，啟發學生考慮三邊的大小關係。

此時啟發學生“或”字可以嗎？學生沒有了聲音，他們在思考着。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。

此時學生們在思考，時間長的話，老師要及時點撥。

讓學生知道，在解決問題時應該貫穿數形結合的思想，以形助數，下面有學生的聲音，有學生在討論，有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況，並且及時的加以指導。

此時學生已經真正進入本節課的學習狀態，老師再給出問題（三）使學生一直處於跟隨老師積極思考和解決問題的狀態。問題是教學研究的核心，以問題展示的形式來培養學生的問題意識與探究意識。

【教學反思】(【設計説明】)

本節課內容很多，都是不等式和不等式組的有關問題，還有很多是生活中的實例，學生學習起來很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數學生都能很積極地回答問題，使課堂的學習氣氛很濃，確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學，邊講授邊引導，啟發學習思考問題及能自己解決問題，鍛鍊學習能自主的學習能力。

【交流評析】

一是課堂容量適中，二是實例很好，接近生活，學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍，和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處，教學設備很完善，老師也能很熟練的應用。

教學目標 篇三

1、經歷通過類比、猜測、驗證發現不等式性質的探索過程，掌握不等式的性質；

2、初步體會不等式與等式的異同；

3、通過創設問題情境和實驗探究活動，積極引導學生參與數學活動，提高學習數學的興趣，增進學習數學的信心，體會在解決問題的過程中與他人交流合作的重要性。

不等式的基本性質教學設計 篇四

（一）教學目標

1．知識與技能：使學生感受到在現實世界和日常生活中存在(本站☆)着大量的不等關係，在學生了解了一些不等式（組）產生的實際背景的前提下，學習不等式的有關內容。

2.過程與方法：以問題方式代替例題，學習如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關基本性質研究不等關係；

3．情態與價值：通過學生在學習過程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度，注重問題情境、實際背景的的設置，通過學生對問題的探究思考，廣泛參與，改變學生學習方式，提高學習質量。

（二）教學重、難點

重點：用不等式（組）表示實際問題中的不等關係，並用不等式（組）研究含有不等關係的問題，理解不等式（組）對於刻畫不等關係的意義和價值。

難點：用不等式（組）正確表示出不等關係。

（三）教學設想

[創設問題情境]

問題1：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則d≤。

問題2：某種雜誌原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價後雜誌的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低於20萬元？

分析：若雜誌的定價為x元，則銷售的總收入為萬元。那麼不等關係“銷售的總收入不低於20萬元”可以表示為不等式≥20

問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關係的不等式呢？

分析：假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。

根據題意，應有如下的不等關係：

（1）解得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；

（2）截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；

（3）解得兩鍾鋼管的數量都不能為負。

由以上不等關係，可得不等式組：

[練習]第82頁，第1、2題。

[知識拓展]

設問：等式性質中：等式兩邊加（減）同一個數（或式子），結果仍相等。不等式是否也有類似的性質呢？

從實數的基本性質出發，可以證明下列常用的不等式的基本性質：

（1）

（2）

（3）

（4）

證明：

例1講解（第82頁）

[練習]第82頁，第3題。

[思考]：利用以上基本性質，證明不等式的下列性質：

[小結]：1.現實世界和日常生活中存在着大量的不等關係；

2.利用不等式的有關基本性質研究不等關係；

[作業]：習題3.1（第83頁）：（A組）4、5；（B組）2.

不等式的基本性質教學設計 篇五

知識與技能：

理解並掌握不等式的三個性質，能運用性質，用不等號連接某些代數式，進行不等式的變形。

過程與方法：

經歷自主學習，小組交流合作學習，以及課堂上的成果彙報，培養學生自主分析問題，解決問題的能力，養成與他人交流，共同學習，共同進步的學習方法。

情感態度與價值觀：在自主分析，交流合作，成果彙報的活動中，感受學習的樂趣，體會與人合作的快樂。

教學難點 ：

正確運用不等式的性質。

教學重點：

理解並掌握不等式的性質3。

教學過程：

一、創設情境 引入新課

利用一台平衡的天平提出問題，引入新課

1、給不平衡的天平兩邊同時加入相同質量的砝碼，天平會有什麼變化？

2、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質量的砝碼，天平會有什麼變化？

3、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數呢？ 通過天平演示，結合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關係。

二、合作交流 探究新知

1、問題情景：數學老師比 語文老師年齡小。

1、10年後誰的年齡大？

2、20年之後呢？

3、5年之前呢？

假設數學，語文兩位老師的年齡分別為a，b ，則a < b

a+10 < b+10

a+20 < b+20

a—5 < b—5

2、探索與發現

一組： 已知5>3，則5+2 3+2

5—2 3—2

二組：已知—1<3則— 1+23+2

—1—33—3

想一想不等號的方向改變嗎？

3、歸納：不等式的性質1：

不等式兩邊都加（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變

如果a＜b，那麼a+c

如果a＞b，那麼a+c >b+c， a—c >b—c。

不等號方向不改變！

4、大膽猜想

不等式兩邊都加（或減去）同一個數，不等號方向不改變

不等式兩邊都加（或減去）同一個數，不等號方向不改變

不等式兩邊都乘（或除以）同一個數（不為零），

不等號的方向呢？

5、探索與發現

已知4<6，則

一組：4×2 < 6×2； 二組： 4×（—2） >6×（—2）；

4÷2<6÷2；4÷（—2）>6÷（—2）。

思考不等號方向改變嗎？

不等式兩邊都乘（或除以）一個不為零的數，不等號方向改不改變和什麼有關？

6、不等式的性質2：

不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

如果a>b， 且c>0，那麼ac>bc，

如果a0，那麼ac < bc，

7、不等式的性質3：

不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

如果a>b， 且c<0，那麼ac

如果a

三、鞏固提高 拓展延伸

例1：判斷下列各題的推導是否正確？為什麼（學生口答）

（1）因為7。5＞5。7，所以—7。5＜—5。7；

（2）因為a+8＞4，所以a＞—4；

（3）因為4a＞4b，所以a＞b；

（4）因為—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；

（5）因為3＞2，所以3a＞2a．

（1）正確，根據不等式基本性質3．

（2）正確，根據不等式基本性質1．

（3）正確，根據不等式基本性質2．

（4）正確，根據不等式基本性質1．

（5）不對，應分情況逐一討論．

當a＞0時，3a＞2a．（不等式基本性質2）

當 a=0時，3a=2a．

當a＜0時，3a＜2a．（不等式基本性質3）

考考你！ 0>4，哪裏錯了？

已知m>n，兩邊都乘以4，得4m>4n，

兩邊都減去4m，得0>4n—4m，

即0>4（n—m），

兩邊同時除以（n—m），得0>4。

等式與不等式的性質

1。不等式的三個性質。

2。等式與不等式的性質對比。

先前後比較，再定不等號

四、總結歸納

1、等式性質與不等式性質的不同之處；

2、在運用“不等式性質3"時應注意的問題． 學生通過總結，可以幫助自己從整體上把握本節課所學知識培養良好的學習習慣，也為下節課學好解不等式打下基礎。

五、佈置作業

1、必做題：教科書第134頁習題9。1第4、5題

2、選做題：教科書第134頁習題9。 1第7題．

教學過程： 篇六

（師生活動） 設計理念提出問題 教師出示天平，並請學生仔細觀察老師的操作過程，回答下列問題：

1、天平被調整到什麼狀態？

2、給不平衡的天平兩邊同時加人相同質量的砝碼，天平會有什麼變化？

3、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質量的砝碼，天平會有什麼變化？

4、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數呢？ 通過天平演示，結合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關係。

探究新知 1、用或填空。

(1)-1 3 -1+2 3+2 -1-3 3-3

（2） 5 3 5+a 3+a 5-a 3-a

（3） 6 2 65 25 6(-5)2(-5)

（4） -2 3(-2)6 36

(-2)(-6) 3（一6）

(5)-4 -6 (-4)2(-6)2

(-4)十(-2) (-6)十(-2)

2、從以上練習中，你發現了什麼？請你再用幾個例子試一試，還有類似的結論嗎？請把你的發現告訴同學們並與他們交流。

3、讓學生充分發表發現，師生共同歸納得出：

不等式性質1：不等式兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變。

不等式性質2：不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的。方向不變。

不等式性質3：不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

4、你能説出不等式性質與等式性質的相同之處與不同

之處嗎？ 通過動手、動口、動腦，引導學生運用類比、歸納的數學思想去探究問題，在品嚐成功的喜悦中激發出學數學的興趣。

滲透類比思想。

探究新知 4、下列哪些是不5、等式x+3 6的解？哪些不6、是？

-4，-2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12

2、直接想出不等式的解集，並在數軸上表示出來：

(1)x+3 6(2)2x 8(3)x-2 0

鞏固新知 1、判斷

（1）∵a b a-b b-b

（2）∵a b

（3）∵a b -2a -2b

（4）∵-2a 0 a 0

（5）∵-a 0 a 3

2、填空

（1）∵ 2a 3a a是 數

（2）∵ a是 數

（3）∵ax a且 x 1 a是 數

3、根據下列已知條件，4、説出a與b的不5、等關係，6、並説明是根據不7、等式哪一條性質。

(1)a-3 b-3 (2)

(3)-4a -4b 設置這幾個練習，既可以培養學生獨立思考的能力，又可強化對概念的理解，使學生真正認識不等式的性質。

總結歸納

在學生自己總結的基礎上，教師應強調兩點：

1、等式性質與不等式性質的不同之處；

2、在運用不等式性質3時應注意的問題。 學生通過總結，可以幫助自

己從整體上把握本節課所學知

識，培養良好的學習習慣，也為

下節課學好解不等式打下基礎。

小結與作業

佈置作業 1、必做題：教科書第134頁習題9.1第4、5題

2、選做題：教科書第134頁習題9. 1第7題。

3、備選題：

本課教育評註（課堂設計理念，實際教學效果及改進設想）

本節課設計旨在讓學生經歷通過實驗、猜測、驗證，發現不等式性質的探索過程。用類比和實驗探究法作為主要方法貫穿整個課堂教學之中，並以多媒體作為輔助教學手段。讓學生充分進行討論交流，在自主探索和合作學習中掌握不等式的性質。這樣就能有效地突破本節課的難點，為學生今後的學習打下堅實的基礎。

教學過程中貫穿了一條創設情境，引出新知實驗討論，得出性質探究辨析，突破難點運用性質，解決問題的線索，使學生真正成為學習的主人。在師生交流合作中營造互動的氛圍，讓學生積極主動地參與教學的整個過程，使他們的學習態度、情感意志和個性品質等都得到不同程度的提高。

為了突破教學難點，讓學生能熟練準確地運用不等式性質3，本課設計了多樣化的練習以鞏固所學知識。在學生回答、板演、討論的過程中，課堂氣氛被激活，教學難點被突破，使學生在輕鬆愉快的氛圍中紮實地掌握性質並靈活運用。同時，學習夥伴之間進行了思維的碰撞和溝通。

不等式的基本性質教學設計 篇七

教學分析

本節課的研究是對國中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展。在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，並能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小。

通過本節課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在着大量的不等關係，並充分認識不等關係的存在與應用。對不等關係的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程。即能用不等式或不等式組把這些不等關係表示出來。

在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易於處理的問題，其用意在於讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，並由衷地產生用數學工具研究不等關係的願望。根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，並能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小。

在本節教學中，教師可讓學生閲讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上點的一一對應關係，從數與形兩方面建立實數的順序關係。要在温故知新的基礎上提高學生對不等式的認識。

三維目標

1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關係，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關係。

2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和範圍。

3.通過温故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧祕與數學的結構美。

重點難點

教學重點：比較實數與代數式的大小關係，判斷二次式的大小和範圍。

教學難點：準確比較兩個代數式的大小。

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衞星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峯，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關係在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關係的強烈願望，自然地引入新課。

思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關係。這些不等關係怎樣在數學上表示出來呢？讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關係的相關素材，讓學生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關係與相等關係一樣，在現實世界和日常生活中大量存在着。這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關係的願望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課。

推進新課

新知探究

提出問題

1回憶國中學過的不等式，讓學生説出“不等關係”與“不等式”的異同。怎樣利用不等式研究及表示不等關係？

2在現實世界和日常生活中，既有相等關係，又存在着大量的不等關係。你能舉出一些實際例子嗎？

3數軸上的任意兩點與對應的兩實數具有怎樣的關係？

4任意兩個實數具有怎樣的關係？用邏輯用語怎樣表達這個關係？

活動：教師引導學生回憶國中學過的不等式概念，使學生明確“不等關係”與“不等式”的異同。不等關係強調的是關係，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關係，可用“a>b”“a

教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關係的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在着大量的不等關係。在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容。

實例1：某天的天氣預報報道，最高氣温32 ℃，最低氣温26 ℃.

實例2：對於數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA

實例3：若一個數是非負數，則這個數大於或等於零。

實例4：兩點之間線段最短。

實例5：三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。

實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.

實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少於2.5%，蛋白質的含量p應不少於2.3%.

教師進一步點撥：能夠發現身邊的數學當然很好，這説明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來説，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那麼，我們可以用我們所研究過的什麼知識來表示這些不等關係呢？學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關係。那麼不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子。如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。

教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來。實例1，若用t表示某天的氣温，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖。

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數與減數的位置也可以。

實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對於實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的。但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論。

討論結果：

(1)(2)略；(3)數軸上任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大。

(4)對於任意兩個實數a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

應用示例

例1(教材本節例1和例2)

活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法。

點評：本節兩例的求解，是藉助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握。

變式訓練

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關係是( )

A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

例2比較下列各組數的大小(a≠b).

(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關係，歸結為判斷它們的差的符號來確定。本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最後的符號判斷説理中，要理由充分，不可忽略這點。

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，

又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

∴a4-b4<4a3(a-b).

點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號。變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變為“積”，後者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者並用。

變式訓練

已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小。

活動：要比較任意兩個數或式的大小關係，只需確定它們的差與0的大小關係。

解：xy-1=x-yy.

∵x>y，∴x-y>0.

當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

點評：當字母y取不同範圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論。

例3建築設計規定，民用住宅的窗户面積必須小於地板面積。但按採光標準，窗户面積與地板面積的比值應不小於10%，且這個比值越大，住宅的採光條件越好。試問：同時增加相等的窗户面積和地板面積，住宅的採光條件是變好了，還是變壞了？請説明理由。

活動：解題關鍵首先是把文字語言轉換成數學語言，然後比較前後比值的大小，採用作差法。

解：設住宅窗户面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a

由於a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，於是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

因此a+mb+m>ab≥10%.

所以同時增加相等的窗户面積和地板面積後，住宅的採光條件變好了。

點評：一般地，設a、b為正實數，且a0，則a+mb+m>ab.

變式訓練

已知a1，a2，…為各項都大於零的等比數列，公比q≠1，則( )

A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

答案：A

解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

∵{an}各項都大於零，∴q>0，即1+q>0.

又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

知能訓練

1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恆成立的不等式的個數為( )

A.3 B.2 C.1 D.0

2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。

答案：

1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，

③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

∴只有①恆成立。

2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，

所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

課堂小結

1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法；從例題的活動探究點評，到緊跟着的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯繫舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中。

2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方。鼓勵學有餘力的學生對節末的思考與討論在課後作進一步的探究。

作業

習題3—1A組3;習題3—1B組2.

設計感想

1.本節設計關注了教學方法的優化。經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式。各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動。也就是説，世上沒有萬能的教學方法。針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥。

2.本節設計注重了難度控制。不等式內容應用面廣，可以説與其他所有內容都有交匯，歷來是大學聯考的重點與熱點。作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平台，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響。

3.本節設計關注了學生思維能力的訓練。訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學教育的主線。採用一題多解有助於思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化。變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題後的點撥反思有助於學生思維批判性品質的提升。

備課資料

備用習題

1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小。

2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .

4.若x

5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小。

參考答案：

1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

=1>0，

∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2.

∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

∴m2-2m+5≥-2m+5.

(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

=a2-4a+3+4a-1

=a2+2.

∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

∴a2-4a+3>-4a+1.

3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2

=1+x+x24-(x+1)

=x24，

又∵x>0，∴x24>0.

∴(1+x2)2>(1+x)2.

由x>0，得1+x2>1+x.

4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y).

∵x0，x-y<0.

∴-2xy(x-y)>0.

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，

當a>b>0時，ab>1，a-b>0，

則(ab)a-b>1，於是aabb>abba.

當b>a>0時，0

則(ab)a-b>1.

於是aabb>abb a.

綜上所述，對於不相等的正數a、b，都有aabb>abba.