等差數列數學教學教案（精品多篇）

等差數列教案 篇一

《等差數列》教案設計

授課教師 授課班級 課 題 3.2.1等差數列(一) 課型 新授課 教學目標 知識目標 等差數列的定義。

等差數列的通項公式。 能力目標 明確等差數列的定義。

掌握等差數列的通項公式，並能運用其解決問題。 情感目標 培養學生的觀察能力。

進一步提高學生的推理、歸納能力。

培養學生的應用意識。 教學重點 等差數列的定義的理解和掌握。

等差數列的通項公式的推導和應用。 教學難點 等差數列“等差”特點的理解、把握和應用。 教學過程 教學環節和教學內容 設計意圖 【複習回顧】（2分鐘）

數列的定義以及數列的通項公式和遞推公式。

【引入】（3分鐘）

某人要用彩燈裝飾聖誕樹，這個人做事喜歡按一定的規律去做，他在聖誕樹的頂尖裝上1個彩燈，在第一層裝上4個，第二層裝上7個，第三層裝上10個，第四層裝上13個。如果有第五層，你能猜得出他要裝上多少個彩燈嗎？他的規律是怎樣的？

你能根據規律在( )內填上合適的數嗎？

（1)1， 4， 7，10，13，( ）

（2)21， 21.5， 22， ( ）， 23， 23.5，…

（3)8，( ）， 2， -1， -4， …

（4)-7， -11， -15， ( ）， -23

共同特點：從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數。這樣的數列叫做等差數列。

【講授新課】（16分鐘）

一、等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。

用符號表示：

教師活動：分析定義，強調關鍵的地方，幫助學生理解和掌握。

問題：1.數列(1)(2)(3)(4)的公差分別是多少？

2、(5)1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10

(6)5， 5， 5， 5， 5， 5 ……是等差數列嗎？

3、求等差數列 1， 4， 7，10，13，16，…的第100項。

師生一起討論回答。

二、等差數列的通項公式

如果等差數列 的首項是 ，公差是d，則據其定義可得：

即：

即：

即：

由此歸納等差數列的通項公式可得：

∴已知一數列為等差數列，則只要知其首項 和公差d，便可求得其通項

思考：已知等差數列的第m項 和公差d，這個等差數列的通項公式是？答：

【例題講解】（8分鐘）

高中等差數列的教學設計 篇二

【教學目標】

1．知識與技能

（1）理解等差數列的定義，會應用定義判斷一個數列是否是等差數列：

（2）賬務等差數列的通項公式及其推導過程：

（3）會應用等差數列通項公式解決簡單問題。

2、過程與方法

在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中，培養學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數與方程的思想。

3、情感、態度與價值觀

通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養學生主動探索、用於發現的求知精神，激發學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悦。在解決問題的過程中，使學生養成細心觀察、認真分析、善於總結的良好習慣。

【教學重點】

①等差數列的概念；

②等差數列的通項公式

【教學難點】

①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義；

②等差數列的通項公式的推導過程．

【學情分析】

我所教學的學生是我校高一（7）班的學生（平行班學生），經過一年的高中數學學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，他們的智力發展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發，注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理髮展特點，從而促進思維能力的進一步發展．

【設計思路】

1．教法

①啟發引導法：這種方法有利於學生對知識進行主動建構；有利於突出重點，突破難點；有利於調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。

②分組討論法：有利於學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。

③講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。

2．學法

引導學生首先從三個現實問題（數數問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數組特點並抽象出等差數列的概念；接着就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。

【教學過程】

一：創設情境，引入新課

1．從0開始，將5的倍數按從小到大的順序排列，得到的數列是什麼？

2．水庫管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那麼從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：m）組成一個什麼數列？

3．我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息．按照單利計算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。活期存入10 000元錢，年利率是0．72%，那麼按照單利，5年內各年末的本利和（單位：元）組成一個什麼數列？

教師：以上三個問題中的數藴涵着三列數．

學生：

1：0，5，10，15，20，25，…．

2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．

3:10072，10144，10216，10288，10360.

（設置意圖：從實例引入，實質是給出了等差數列的現實背景，目的是讓學生感受到等差數列是現實生活中大量存在的數學模型。通過分析，由特殊到一般，激發學生學習探究知識的自主性，培養學生的歸納能力。

二：觀察歸納，形成定義

①0，5，10，15，20，25，…．

②18，15．5，13，10．5，8，5．5．

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述數列有什麼共同特點？

思考2根據上數列的共同特點，你能給出等差數列的一般定義嗎？

思考3你能將上述的文字語言轉換成數學符號語言嗎？

教師：引導學生思考這三列數具有的共同特徵，然後讓學生抓住數列的特徵，歸納得出等差數列概念。

學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數和後數的差符合一定規律；這些數都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定。

教師引導歸納出：等差數列的定義；另外，教師引導學生從數學符號角度理解等差數列的定義。

（設計意圖：通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性；使學生體會到等差數列的規律和共同特點；一開始抓住：“從第二項起，每一項與它的前一項的差為同一常數”，落實對等差數列概念的準確表達。）

三：舉一反三，鞏固定義

1、判定下列數列是否為等差數列？若是，指出公差d。

(1)1，1，1，1，1;

(2)1，0，1，0，1;

(3)2，1，0，-1，-2;

(4)4，7，10，13，16.

教師出示題目，學生思考回答．教師訂正並強調求公差應注意的問題。

注意：公差d是每一項（第2項起）與它的前一項的差，防止把被減數與減數弄顛倒，而且公差可以是正數，負數，也可以為0 。

（設計意圖：強化學生對等差數列“等差”特徵的理解和應用）。

2思考4:設數列{an}的通項公式為an=3n+1，該數列是等差數列嗎？為什麼？

（設計意圖：強化等差數列的證明定義法）

四：利用定義，導出通項

1、已知等差數列：8，5，2，…，求第200項？

2、已知一個等差數列｛an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢？

教師出示問題，放手讓學生探究，然後選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示。根據學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導，總結推導方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法；讓學生初步嘗試處理數列問題的常用方法。

（設計意圖：引導學生觀察、歸納、猜想，培養學生合理的推理能力。學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，並及時肯定、讚揚學生善於動腦、勇於創新的品質，激發學生的創造意識。鼓勵學生自主解答，培養學生運算能力）

五：應用通項，解決問題

1判斷100是不是等差數列2， 9，16，…的項？如果是，是第幾項？

2在等差數列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an。

3求等差數列 3，7，11，…的第4項和第10項

教師：給出問題，讓學生 自己操練，教師巡視學生答題情況。

學生：教師叫學生代表總結此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數列的首項和公差就可以求出其通項公式

（設計意圖：主要是熟悉公式，使學生從中體會公式與方程之間的聯繫。初步認識“基本量法”求解等差數列問題。）

六：反饋練習：教材13頁練習1

七：歸納總結：

1、一個定義：

等差數列的定義及定義表達式

2、一個公式：

等差數列的通項公式

3、二個應用：

定義和通項公式的應用

教師：讓學生思考整理，找幾個代表發言，最後教師給出補充

（設計意圖：引導學生去聯想本節課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯繫，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，並靈活運用基本概念。）

【設計反思】

本設計從生活中的數列模型導入，有助於發揮學生學習的主動性，增強學生學習數列的興趣。在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數列定義，然後由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助於提高學生分析問題和解決問題的能力。本節課教學採用啟發方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率。

高中等差數列的教學設計 篇三

一、知識與技能

1、瞭解公差的概念，明確一個數列是等差數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等差數列；

2、正確認識使用等差數列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數列的首項、公差、項數、指定的項。

二、過程與方法

1、通過對等差數列通項公式的推導培養學生：的觀察力及歸納推理能力；

2、通過等差數列變形公式的教學培養學生：思維的深刻性和靈活性。

三、情感態度與價值觀

通過等差數列概念的歸納概括，培養學生：的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識。

教學過程

導入新課

師：上兩節課我們學習了數列的定義以及給出數列和表示數列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法。這些方法從不同的角度反映數列的特點。下面我們看這樣一些數列的例子：（課本P41頁的4個例子）

(1)0，5，10，15，20，25，…；

(2)48，53，58，63，…；

(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…；

(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…。

請你們來寫出上述四個數列的第7項。

生：第一個數列的第7項為30，第二個數列的第7項為78，第三個數列的第7項為3，第四個數列的第7項為10 510。

師：我來問一下，你依據什麼寫出了這四個數列的第7項呢？以第二個數列為例來説一説。

生：這是由第二個數列的後一項總比前一項多5，依據這個規律性我得到了這個數列的第7項為78。

師：説得很有道理！我再請同學們仔細觀察一下，看看以上四個數列有什麼共同特徵？我説的是共同特徵。

生：1每相鄰兩項的差相等，都等於同一個常數。

師：作差是否有順序，誰與誰相減？

生：1作差的順序是後項減前項，不能顛倒。

師：以上四個數列的共同特徵：從第二項起，每一項與它前面一項的差等於同一個常數（即等差）；我們給具有這種特徵的數列起一個名字叫——等差數列。

這就是我們這節課要研究的內容。

推進新課

等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d”表示）。

（1）公差d一定是由後項減前項所得，而不能用前項減後項來求；

（2）對於數列{an}，若an-a n-1=d（與n無關的數或字母），n≥2，n∈N*，則此數列是等差數列，d叫做公差。

師：定義中的關鍵字是什麼？（學生：在學習中經常遇到一些概念，能否抓住定義中的關鍵字，是能否正確地、深入的理解和掌握概念的重要條件，更是學好數學及其他學科的重要一環。因此教師：應該教會學生：如何深入理解一個概念，以培養學生：分析問題、認識問題的能力）

生：從“第二項起”和“同一個常數”。

師：：很好！

師：請同學們思考：數列(1)、(2)、(3)、(4)的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什麼？

生：數列(1)通項公式為5n-5，數列(2)通項公式為5n+43，數列(3)通項公式為2.5n-15.5，…。

師：好，這位同學用上節課學到的知識求出了這幾個數列的通項公式，實質上這幾個通項公式有共同的特點，無論是在求解方法上，還是在所求的結果方面都存在許多共性，下面我們來共同思考。

［合作探究］

等差數列的通項公式

師：等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關係而得到的，若一個等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則據其定義可得什麼？

生：a2-a1=d,即a2=a1+d.

師：對，繼續説下去！

生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;

a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;

……

師：好！規律性的東西讓你找出來了，你能由此歸納出等差數列的。通項公式嗎？

生：由上述各式可以歸納出等差數列的通項公式是an=a1+(n-1)d.

師：很好！這樣説來，若已知一數列為等差數列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項an了。需要説明的是：此公式只是等差數列通項公式的猜想，你能證明它嗎？

生：前面已學過一種方法叫迭加法，我認為可以用。證明過程是這樣的：

因為a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…，an-an-1=d.將它們相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.

師：太好了！真是活學活用啊！這樣一來我們通過證明就可以放心使用這個通項公式了。

［教師：精講］

由上述關係還可得：am=a1+(m-1)d,

即a1=am-(m-1)d.

則an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

即等差數列的第二通項公式an=am+(n-m)d.（這是變通的通項公式）

由此我們還可以得到。

［例題剖析］

【例1】（1）求等差數列8，5，2,…的第20項；

（2）-401是不是等差數列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？

師：這個等差數列的首項和公差分別是什麼？你能求出它的第20項嗎？

生：1這題太簡單了！首項和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因為n=20，所以由等差數列的通項公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

師：好！下面我們來看看第（2）小題怎麼做。

生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數列通項公式為an=-5-4(n-1)。

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得-401=-5-4(n-1)成立，解之，得n=100，即-401是這個數列的第100項。

師：剛才兩個同學將問題解決得很好，我們做本例的目的是為了熟悉公式，實質上通項公式就是an,a1,d,n組成的方程（獨立的量有三個）。

説明:(1)強調當數列｛an｝的項數n已知時，下標應是確切的數字；(2)實際上是求一個方程的正整數解的問題。這類問題學生：以前見得較少，可向學生：着重點出本問題的實質：要判斷-401是不是數列的項，關鍵是求出數列的通項公式an，判斷是否存在正整數n，使得an=-401成立。

【例2】已知數列{an}的通項公式an=pn+q，其中p、q是常數，那麼這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什麼？

例題分析：

師：由等差數列的定義，要判定{an}是不是等差數列，只要根據什麼？

生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關的常數。

師：説得對，請你來求解。

生：當n≥2時，〔取數列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕

an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p為常數，

所以我們説{an}是等差數列，首項a1=p+q，公差為p.

師：這裏要重點説明的是：

（1）若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，…。

（2）若p≠0，則an是關於n的一次式，從圖象上看，表示數列的各點(n，an)均在一次函數y=px+q的圖象上，一次項的係數是公差p，直線在y軸上的截距為q.

（3)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數），稱其為第3通項公式。課堂練習

（1）求等差數列3，7，11，…的第4項與第10項。

分析：根據所給數列的前3項求得首項和公差，寫出該數列的通項公式，從而求出所┣笙。

解：根據題意可知a1=3，d=7-3=4.∴該數列的通項公式為an=3+（n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*）。∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.

評述：關鍵是求出通項公式。

（2）求等差數列10，8，6，…的第20項。

解：根據題意可知a1=10，d=8-10=-2.

所以該數列的通項公式為an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.

評述：要求學生：注意解題步驟的規範性與準確性。

(3)100是不是等差數列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，請説明理由。

分析：要想判斷一個數是否為某一個數列的其中一項，其關鍵是要看是否存在一個正整數n值，使得an等於這個數。

解：根據題意可得a1=2，d=9-2=7.因而此數列通項公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.

令7n-5=100，解得n=15.所以100是這個數列的第15項。

(4)-20是不是等差數列0，，-7，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，請説明理由。

解：由題意可知a1=0，，因而此數列的通項公式為。

令，解得。因為沒有正整數解，所以-20不是這個數列的項。

課堂小結

師：（1）本節課你們學了什麼？（2）要注意什麼？（3）在生：活中能否運用？（讓學生：反思、歸納、總結，這樣來培養學生：的概括能力、表達能力）

生：通過本課時的學習，首先要理解和掌握等差數列的定義及數學表達式a n-a n-1=d(n≥2)；其次要會推導等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d(n≥1)。