《等差數列前n項和的公式》教案精品多篇

《等差數列前n項和的公式》教案 篇一

教學目標

A、知識目標：

掌握等差數列前n項和公式的推導方法；掌握公式的運用。

B、能力目標：

（1）通過公式的探索、發現，在知識發生、發展以及形成過程中培養學生觀察、聯想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

（2）利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認知規律，讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數列的求和公式，培養學生類比思維能力。

（3）通過對公式從不同角度、不同側面的剖析，培養學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力。

C、情感目標：（數學文化價值）

（1）公式的發現反映了普遍性寓於特殊性之中，從而使學生受到辯證唯物主義思想的薰陶。

（2）通過公式的運用，樹立學生"大眾教學"的思想意識。

（3）通過生動具體的現實問題，令人着迷的數學史，激發學生探究的興趣和慾望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感。

教學重點：等差數列前n項和的公式。

教學難點：等差數列前n項和的公式的靈活運用。

教學方法：啟發、討論、引導式。

教具：現代教育多媒體技術。

教學過程

一、創設情景，導入新課。

師：上幾節，我們已經掌握了等差數列的概念、通項公式及其有關性質，今天要進一步研究等差數列的前n項和公式。提起數列求和，我們自然會想到德國偉大的數學家高斯"神速求和"的故事，小高斯上國小四年級時，一次教師佈置了一道數學習題："把從1到100的自然數加起來，和是多少？"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那麼高斯是採用了什麼方法來巧妙地計算出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計算，那你們就是二十世紀末的新高斯。（教師觀察學生的表情反映，然後將此問題縮小十倍）。我們來看這樣一道一例題。

例1，計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

這道題除了累加計算以外，還有沒有其他有趣的解法呢？小組討論後，讓學生自行發言解答。

生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個11，得到55。

生2：可設S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據加法交換律，又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10個

所以我們得到S=55，

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師：高斯神速計算出1到100所有自然數的各的方法，和上述兩位同學的方法相類似。

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學們想一下，上面的方法用到等差數列的哪一個性質呢？

生3：數列{an}是等差數列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

二、教授新課（嘗試推導）

師：如果已知等差數列的首項a1，項數為n，第n項an，根據等差數列的性質，如何來導出它的前n項和Sn計算公式呢？根據上面的例子同學們自己完成推導，並請一位學生板演。

生4：Sn=a1+a2+-1+an也可寫成

Sn=an+an-1+......a2+a1

兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n個

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

師：好！如果已知等差數列的首項為a1，公差為d，項數為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

Sn=na1+ d(II)

上面（I）、（II）兩個式子稱為等差數列的前n項和公式。公式（I）是基本的，我們可以發現，它可與梯形面積公式（上底+下底）×高÷2相類比，這裏的上底是等差數列的首項a1，下底是第n項an，高是項數n。引導學生總結：這些公式中出現了幾個量？（a1，d，n，an，Sn），它們由哪幾個關係聯繫？［an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d］；這些量中有幾個可自由變化？（三個）從而瞭解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例説明公式（I）和（II）的一些應用。

三、公式的應用（通過實例演練，形成技能）。

1、直接代公式（讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式）例2、計算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

請同學們先完成（1）-（3），並請一位同學回答。

生5：直接利用等差數列求和公式（I），得

（1）1+2+3+......+n=

（2）1+3+5+......+(2n-1)=

（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

師：第（4）小題數列共有幾項？是否為等差數列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，那應如何解答？小組討論後，讓學生髮言解答。

生6：（4）中的數列共有2n項，不是等差數列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數列，所以

原式=［1+3+5+......+(2n-1)］-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上題雖然不是等差數列，但有一個規律，兩項結合都為-1，故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n個

師：很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規律，往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時，要看清等差數列的項數，否則會引起錯解。

例3、（1）數列{an}是公差d=-2的等差數列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

又∵d=-2，∴a1=6

∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4

a8+a9+a10=75，a1+8d=25

解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145

師：通過上面例題我們掌握了等差數列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量（知三求二），請同學們根據例3自己編題，作為本節的課外練習題，以便下節課交流。

師：（繼續引導學生，將第（2）小題改編）

①數列{an}等差數列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

②若此題不求a1，d而只求S10時，是否一定非來求得a1，d不可呢？引導學生運用等差數列性質，用整體思想考慮求a1+a10的值。

2、用整體觀點認識Sn公式。

例4，在等差數列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教師啟發學生解）

師：來看第（1）小題，寫出的計算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較，你發現了什麼？

生10：根據等差數列的性質，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

師：對！（簡單小結）這個題目根據已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數列的性質可求a1與an的和，於是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數學問題的體現。

師：由於時間關係，我們對等差數列前n項和公式Sn的運用一一剖析，引導學生觀察當d≠0時，Sn是n的二次函數，那麼從二次（或一次）的函數的觀點如何來認識Sn公式後，這留給同學們課外繼續思考。

最後請大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：

已知數列{an}的前n項和為Sn，若對於所有自然數n，都有Sn=。數列{an}是否為等差數列，並説明理由。

四、小結與作業。

師：接下來請同學們一起來小結本節課所講的內容。

生11：1、用倒序相加法推導等差數列前n項和公式。

2、用所推導的兩個公式解決有關例題，熟悉對Sn公式的運用。

生12：1、運用Sn公式要注意此等差數列的項數n的值。

2、具體用Sn公式時，要根據已知靈活選擇公式（I）或（II），掌握知三求二的解題通法。

3、當已知條件不足以求此項a1和公差d時，要認真觀察，靈活應用等差數列的有關性質，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

師：通過以上幾例，説明在解題中靈活應用所學性質，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學習方法。同時希望大家在學習中做一個有心人，去發現更多的性質，主動積極地去學習。

本節所滲透的數學方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定係數等。

數學思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數思想等。

作業：P49：13、14、15、17

《等差數列前n項和的公式》教案 篇二

深圳中學 白教授n}是等差數列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

二、教授新課（嘗試推導）

師：如果已知等差數列的首項a1，項數為n，第n項an，根據等差數列的性質，如何來導出它的前n項和Sn計算公式呢？根據上面的例子同學們自己完成推導，並請一位學生板演。

生4：Sn=a1+a2+-1+an也可寫成

Sn=an+an-1+......a2+a1

兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n個

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

師：好！如果已知等差數列的首項為a1，公差為d，項數為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

Sn=na1+ d(II)

上面（I）、（II）兩個式子稱為等差數列的前n項和公式。公式（I）是基本的，我們可以發現，它可與梯形面積公式（上底+下底）×高÷2相類比，這裏的上底是等差數列的首項a1，下底是第n項an，高是項數n。引導學生總結：這些公式中出現了幾個量？（a1，d，n，an，Sn），它們由哪幾個關係聯繫？[an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d]；這些量中有幾個可自由變化？（三個）從而瞭解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例説明公式（I）和（II）的一些應用。

三、公式的應用（通過實例演練，形成技能）。

1、直接代公式（讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式）例2、計算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

請同學們先完成（1）-（3），並請一位同學回答。

生5：直接利用等差數列求和公式（I），得

（1）1+2+3+......+n=

（2）1+3+5+......+(2n-1)=

（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

師：第（4）小題數列共有幾項？是否為等差數列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，那應如何解答？小組討論後，讓學生髮言解答。

生6：（4）中的數列共有2n項，不是等差數列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數列，所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上題雖然不是等差數列，但有一個規律，兩項結合都為-1，故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n個

師：很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規律，往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時，要看清等差數列的項數，否則會引起錯解。

例3、（1）數列{an}是公差d=-2的等差數列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

又∵d=-2，∴a1=6

∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4

a8+a9+a10=75，a1+8d=25

解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145

師：通過上面例題我們掌握了等差數列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量（知三求二），請同學們根據例3自己編題，作為本節的課外練習題，以便下節課交流。

師：（繼續引導學生，將第（2）小題改編）

①數列{an}等差數列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

②若此題不求a1，d而只求S10時，是否一定非來求得a1，d不可呢？引導學生運用等差數列性質，用整體思想考慮求a1+a10的值。

2、用整體觀點認識Sn公式。

例4，在等差數列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教師啟發學生解）

師：來看第（1）小題，寫出的計算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較，你發現了什麼？

生10：根據等差數列的性質，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

師：對！（簡單小結）這個題目根據已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數列的性質可求a1與an的和，於是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數學問題的體現。

師：由於時間關係，我們對等差數列前n項和公式Sn的運用一一剖析，引導學生觀察當d≠0時，Sn是n的二次函數，那麼從二次（或一次）的函數的觀點如何來認識Sn公式後，這留給同學們課外繼續思考。

最後請大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：

已知數列{an}的前n項和為Sn，若對於所有自然數n，都有Sn=。數列{an}是否為等差數列，並説明理由。

四、小結與作業 。

師：接下來請同學們一起來小結本節課所講的內容。

生11：1、用倒序相加法推導等差數列前n項和公式。

2、用所推導的兩個公式解決有關例題，熟悉對Sn公式的運用。

生12：1、運用Sn公式要注意此等差數列的項數n的值。

2、具體用Sn公式時，要根據已知靈活選擇公式（I）或（II），掌握知三求二的解題通法。

3、當已知條件不足以求此項a1和公差d時，要認真觀察，靈活應用等差數列的有關性質，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

師：通過以上幾例，説明在解題中靈活應用所學性質，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學習方法。同時希望大家在學習中做一個有心人，去發現更多的性質，主動積極地去學習。

本節所滲透的數學方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定係數等。

數學思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數思想等。

作業 ：P49：13、14、15、17

《等差數列前n項和的公式》教案 篇三

以下是高中數學《等差數列前n項和的公式》説課稿，僅供參考。

教學目標

A、知識目標：

掌握等差數列前n項和公式的推導方法；掌握公式的運用。

B、能力目標：

(1)通過公式的探索、發現，在知識發生、發展以及形成過程中培養學生觀察、聯想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

(2)利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認知規律，讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數列的求和公式，培養學生類比思維能力。

(3)通過對公式從不同角度、不同側面的剖析，培養學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力。

C、情感目標：(數學文化價值)

(1)公式的發現反映了普遍性寓於特殊性之中，從而使學生受到辯證唯物主義思想的薰陶。

(2)通過公式的運用，樹立學生“大眾教學”的思想意識。

(3)通過生動具體的現實問題，令人着迷的數學史，激發學生探究的興趣和慾望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感。

教學重點：等差數列前n項和的公式。

教學難點：等差數列前n項和的公式的靈活運用。

教學方法：啟發、討論、引導式。

教具：現代教育多媒體技術。

教學過程

一、創設情景，導入新課。

師：上幾節，我們已經掌握了等差數列的概念、通項公式及其有關性質，今天要進一步研究等差數列的前n項和公式。提起數列求和，我們自然會想到德國偉大的數學家高斯“神速求和”的故事，小高斯上國小四年級時，一次教師佈置了一道數學習題：“把從1到100的自然數加起來，和是多少？”年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那麼高斯是採用了什麼方法來巧妙地計算出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計算，那你們就是二十世紀末的新高斯。(教師觀察學生的表情反映，然後將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。

例1，計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

這道題除了累加計算以外，還有沒有其他有趣的解法呢？小組討論後，讓學生自行發言解答。

生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個11，得到55。

生2：可設S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據加法交換律，又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面兩式相加得2S=11+10+......+11=1011=110

10個

所以我們得到S=55，

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師：高斯神速計算出1到100所有自然數的各的方法，和上述兩位同學的方法相類似。

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+......+100=50101=5050。請同學們想一下，上面的方法用到等差數列的哪一個性質呢？

生3：數列{an}是等差數列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

二、教授新課(嘗試推導)

師：如果已知等差數列的首項a1，項數為n，第n項an，根據等差數列的性質，如何來導出它的前n項和Sn計算公式呢？根據上面的例子同學們自己完成推導，並請一位學生板演。

生4：Sn=a1+a2+-1+an也可寫成

Sn=an+an-1+......a2+a1

兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n個

=n(a1+an)

所以Sn=

#FormatImgID_0#

(I)

師：好！如果已知等差數列的首項為a1，公差為d，項數為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

Sn=na1+

#FormatImgID_1#

d(II) 上面(I)、(II)兩個式子稱為等差數列的前n項和公式。公式(I)是基本的，我們可以發現，它可與梯形面積公式(上底+下底)高÷2相類比，這裏的上底是等差數列的首項a1，下底是第n項an，高是項數n。引導學生總結：這些公式中出現了幾個量？(a1，d，n，an，Sn)，它們由哪幾個關係聯繫？[an=a1+(n-1)d，Sn=

#FormatImgID_2#

=na1+

#FormatImgID_3#

d];這些量中有幾個可自由變化？(三個)從而瞭解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例説明公式(I)和(II)的一些應用。

三、公式的應用(通過實例演練，形成技能)。

1、直接代公式(讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式)例2、計算：

(1)1+2+3+......+n

(2)1+3+5+......+(2n-1)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

請同學們先完成(1)-(3)，並請一位同學回答。

生5：直接利用等差數列求和公式(I)，得

(1)1+2+3+......+n=

#FormatImgID_4#

(2)1+3+5+......+(2n-1)=

#FormatImgID_5#

(3)2+4+6+......+2n=

#FormatImgID_6#

=n(n+1)

師：第(4)小題數列共有幾項？是否為等差數列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，那應如何解答？小組討論後，讓學生髮言解答。

生6：(4)中的數列共有2n項，不是等差數列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數列，所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上題雖然不是等差數列，但有一個規律，兩項結合都為-1，故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n個

師：很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規律，往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時，要看清等差數列的項數，否則會引起錯解。

例3、(1)數列{an}是公差d=-2的等差數列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

又∵d=-2，∴a1=6

∴S12=12 a1+66(-2)=-60

生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4

a8+a9+a10=75，a1+8d=25

解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+

#FormatImgID_7#

=145

師：通過上面例題我們掌握了等差數列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二)，請同學們根據例3自己編題，作為本節的課外練習題，以便下節課交流。

師：(繼續引導學生，將第(2)小題改編)

①數列{an}等差數列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

②若此題不求a1，d而只求S10時，是否一定非來求得a1，d不可呢？引導學生運用等差數列性質，用整體思想考慮求a1+a10的值。

2、用整體觀點認識Sn公式。

例4，在等差數列{an}， (1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(教師啟發學生解)

師：來看第(1)小題，寫出的計算公式S16=

#FormatImgID_8#

=8(a1+a6)與已知相比較，你發現了什麼？

生10：根據等差數列的性質，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=818=144。

師：對！(簡單小結)這個題目根據已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數列的性質可求a1與an的和，於是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數學問題的體現。

師：由於時間關係，我們對等差數列前n項和公式Sn的運用一一剖析，引導學生觀察當d≠0時，Sn是n的二次函數，那麼從二次(或一次)的函數的觀點如何來認識Sn公式後，這留給同學們課外繼續思考。

最後請大家課外思考Sn公式(1)的逆命題：

已知數列{an}的前n項和為Sn，若對於所有自然數n，都有Sn=

#FormatImgID_9#

。數列{an}是否為等差數列，並説明理由。

四、小結與作業。

師：接下來請同學們一起來小結本節課所講的內容。

生11：1、用倒序相加法推導等差數列前n項和公式。

2、用所推導的兩個公式解決有關例題，熟悉對Sn公式的運用。

生12：1、運用Sn公式要注意此等差數列的項數n的值。

2、具體用Sn公式時，要根據已知靈活選擇公式(I)或(II)，掌握知三求二的解題通法。

3、當已知條件不足以求此項a1和公差d時，要認真觀察，靈活應用等差數列的有關性質，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

師：通過以上幾例，説明在解題中靈活應用所學性質，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學習方法。同時希望大家在學習中做一個有心人，去發現更多的性質，主動積極地去學習。

本節所滲透的數學方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定係數等。

數學思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數思想等。