淺談條件概率教學過程的設計

 從狄青的100枚銅幣談起­                     ——淺談條件概率教學過程的設計

汕頭市金山中學   林琪

條件概率是人教A版選修2-3第二章2.2.1的內容，是學生在已學習古典概型與幾何概型的基礎上又一類型的概率問題。條件概率是概率論中的一個重要概念，它是推導獨立事件概率公式的前提，也是繼續學習事件的獨立性等概率知識的基礎，正確理解概念是解題的關鍵，所以學好這一節，對後續概率的學習有着鋪墊作用。而條件概率又是比較難理解的概念，在新課的講授過程學生總會有這樣或那樣的疑惑。下面我就如何把條件概率這節課講“懂”，使學生真正把知識學好學透徹，淺談我的一點見解。

1.         尋找條件概率——狄青的100枚銅幣

在我們生活的世界上，充滿着不確定性，從流星墜落，到大自然的千變萬化，從嬰兒誕生，到世間萬物的繁衍生息，都充滿奇異的隨機現象。我們能根據現在預測未來嗎？或者一切都能心想事成嗎？這可以從狄青的100枚銅幣談起。

話説北宋慶曆、皇祐年間，大將狄青奉旨征討儂智高時，來到桂林以南。當時南方有崇拜鬼神的風俗，於是，他拿了100枚銅幣向神許願，説：“如果這次出征能夠打敗敵人，那麼把這些銅幣扔到地上，錢面定然會全部朝上。”左右官員都誠惶誠恐，力勸主帥放棄這個念頭——因為經驗告訴他們，這種嘗試是註定要失敗的。他們擔心最終弄不好，反而會動搖部隊的士氣。可是，狄青對此概然不理，固執如牛。在千萬人的注視下，他突然舉手一揮，把銅幣全部扔到地上。結果這100枚銅幣的面，竟然鬼使神差般全部朝上。這時，全軍歡呼，聲音響徹山村原野。由於士兵個個認定有神靈護佑，在戰鬥中奮勇爭先，迅速贏得了勝利。最後回師時，狄青的僚屬們一看才發現那些銅幣的兩面都是一樣的。

實際上，聰明的狄青便是注意到人們在觀察隨機現象時，往往過於相信自身的經驗，而忽視了前提條件。對於狄青來説，100個錢面全部朝上，原本是個必然事件，但在別人看來，卻是幾乎不可能出現的。因此，觀察一種現象，不能忽視它的前提。在一種前提下的隨機事件，在另一種前提下可能成為必然事件。同樣地，在一種前提下的必然事件，在另一種前提下也可能不出現。可見，前提不同的話，隨機事件的概率可能發生變化。這也便是我們所要研究的條件概率。

2.         初識條件概率——抽籤先後概率一樣？

抽籤是生活常見的概率問題，也是條件概率中最常見的例子。抽籤先後是否公平，也即各人抽到獎票的概率是否相等，大體有如下一些看法：

(1)    先抽比後抽可能性大。第一人抽的時候，獎票還在；假如獎票被第一個人抽去了，那後面的人就根本不用抽了。

(2)    後抽比先抽可能性大。先抽的人概率小，所以先難抽到獎票，而對第二個人來説，這時籤紙總數減少了一張，所以抽中的概率變大。

(3)    先後抽的可能性一樣。當每個人抽完籤之後都不看或者看了不聲張，每個人拿到獎票的可能性是一樣的。

這些疑惑估計不止學生存在，或許連一些大人也會覺得很奇怪。“數學來源於生活，高於生活”，那如何讓學生從數學的角度全面來理解此問題呢？實際上，這是與條件概率相關的內容，在此，我們可以藉助概率的知識，提出以下問題。

例：假設三張獎券中只有一張能中獎，現分別由三位同學無放回地抽取。

(1)    可用什麼模型來表述這個隨機試驗？

(2)    最後一名同學抽到中獎獎券的概率是否比前兩名同學小？如何解釋？

(3)    如果已經知道第一名同學沒有抽到中獎獎券，那麼最後一名同學抽到中獎獎券的概率又是多少？如何解釋？

根據學生的生活體驗和之前的概率知識，學生可以快速地得出答案，但至於為何是這樣的結果，學生也只有一個感性認識。如果在此沒有認真引導學生利用已有的知識進行分析，而直奔下一個主題——條件概率的概念，那會有欲速則不達的效果。因此，我把問題分成三個小問題，循序漸進，讓知識在學生的最近發展區發生，使學生“跳一跳”可以“摘到桃子”。

大部學生都知道每位同學都有的概率抽到中獎獎券，可以想到利用古典概型來描述此問題，因此在求解事件的概率時的方法便是列出基本事件。分析如下：

若抽到中獎獎券用表示，沒有抽到用表示，那麼三名同學的抽獎結果可記為，用B表示事件“最後一名同學抽到中獎獎券”，則，由古典概型計算公式可知，最後一名同學抽到中獎獎券的概率為。

而當第一名同學沒有抽到中獎獎券的時候，則中獎只可能出現在另外兩名同學身上，即能出現的基本事件只有，所以最後一名同學的中獎概率也變大為。用A表示事件“第一名同學抽到中獎獎券”，則。這裏，我們可以稱此時的概率為在第一名同學沒有抽到獎券的條件A下，最後一名同學的中獎B事件下的概率，記為。

這樣，我們通過對抽獎例子的細緻引導，可以使學生對抽籤的概率有更全面的瞭解，也形成對條件概率的初步認識：每一個隨機實驗都是在一定條件下進行的，而條件概率是指當試驗結果的部分信息已經知道的條件下進行的，即在原隨機實驗的條件下再加上一些附加信息。

另外借助抽獎的模型，學生可以明白在已知第一名同學沒有抽到中獎獎券的時候，原來考慮的樣本空間裏的一些基本事件不可能發生，從而原來的樣本空間縮小為可能發生的已知的條件事件A，而此時若要考慮B事件的發生概率，但只能在可能發生的事件A的基礎來考慮。這可以幫助學生形成計算條件概率的基本方法，通過縮小樣本空間來考慮。在此處由於抽籤問題是古典概型，可以計算可能發生的基本事件數來求解，即。

3.         理解條件概率——骰子中的學問大

一個概念的形成，單純從一個例子是很難講述清楚，特別是條件概率這個難理解的概念，會略顯單薄。下面我們還可以從學生很熟悉的擲骰子的例子來説明。此例相對於抽籤的例子有一個優點，便是相對複雜一點，但又有點熟悉。抽籤的例子中事件B是事件A的子事件，在求解概率時，相對比較容易計算，而且不太懂的情況下，也能根據直觀認識求解出結果。下面擲骰子的例子可以從多方面來幫助學生形成更深層的概念，而且還能幫助學生理清積事件與條件概率的關係，避免出現混淆。

例：投擲紅、藍兩顆骰子，如果用x代表紅骰子所得點數，用y代表藍骰子所得點數，這個隨機試驗的基本事件空間可以怎樣表示？

（1）事件A=“藍色骰子的點數為3或6”，則P(A)=________

（2）事件B=“兩顆骰子的點數之和大於8”，則P(B)=______

（3）事件C=“藍色骰子的點數為3或6且兩顆骰子的點數之和大於8”，則P(C)=__________

（4）事件D=“已知藍色骰子的點數為3或6的前提下，兩顆骰子的點數之和大於8”，則P(D)=___________

此問題在設置的過程中，充分考慮了學生的基礎，從細處着手，前三個問題幫助學生回顧古典概型的概率求法以及積事件的知識，為下面學習新知識做好知識方面的鋪墊。同時藉助了座標系來表示這個基本事件空間，數形結合解決此問題。

條件概率與積事件概率在概率論的運算或應用中容易混淆，這兩種事件的概率既有本質的區別又存在一定的聯繫。對於條件概率和積事件概率，如果不能從本質上把它們的區別搞清楚，那麼就會導致在解題或實際應用中常常把應屬於積事件概率的問題錯誤地當成條件概率的問題，有時出現了錯誤還不易被發現。因此，在此設計了第（3）題的設計意圖是讓學生明確積事件的概念，為後面學習掃清障礙。為了讓學生有深刻和形象直觀的印象，我們還可以讓學生用符號語言及圖形語言來描述一下事件C。

第（4）題，可以引導學生類比之前抽籤例子，從圖形來得出只能在A可能發生的情況下來研究B的概率，利用縮小樣本空間的觀點來算概率。從這裏可以看出條件概率實際上是僅侷限於事件A這個範圍，來考查事件B發生的概率，而事件AB則是在整個樣本空間來考慮。此處類比兩個概率的求解過程，體現了新舊知識的聯繫與區別，符合學生的認知規律，同時深化了對條件概率概念的理解。

同時還可以讓學生藉助此題，觀察一下這三個概率之間的關係，得出條件概率的另外一種求解方法，即。由此得出條件概率的一般求解方法，適用於非古典概型。

由於本題比較有代表性，我們可以從中分析得出條件概率的相關性質。由之前的兩個例子可以得出，如果學有餘力的話，還可以藉助本題，構造不同的條件來研究一下與之間的大小關係。如：事件A=“藍色骰子的點數為3”，事件B=“藍色骰子的點數為6”，此時。這樣可以使學生對條件概率有更深層次的瞭解。

4.         應用條件概率——生男生女概率一樣？

在日常生活中，條件概率的應用還是比較廣泛的。如：

例題：一個家庭中有兩個小孩。假定生男、生女是等可能的，已知這個家庭有一個是女孩，你能算一下另一個小孩是男孩的概率有多大嗎？

這個問題也是一個難點，可以讓學生進行討論，在交流中感悟知識，解決問題。不妨記基本事件空間為，A=“其中一個是女孩”，B=“其中一個是男孩”，下面把學生討論的一些結果收集如下：

(1)    容易受生物學知識干擾，得生男孩的概率是。實際上學生沒有把題目讀清楚，如果題目變成是“已知這個家庭第一個小孩是女孩，問第二個是男孩的概率多大”，那當然是。但本題卻是在已經有了兩個小孩，在已經知道其中一個是女孩的條件下，求另一個小孩是男孩的概率，而且這一個女孩也不知道排行第幾。

(2)    利用縮小樣本空間的方法，計算基本事件空間所含基本事件上出錯，即把（男，女）與（女，男）視為同一個事件（一男，一女）。學生們自己找出問題所在：等可能性。

(3)    利用定義求解時概率出錯，即，，從而得出。問題出在：事件A實際為“至少有一個是女孩”，在算A的基本事件時，如果直接藉助挑出某一個是女生，則也是犯了與(2)同樣的錯誤。當然把A的基本事件算成也是錯誤的，裏面出現了重複計算的問題。“至少”的問題正確的求解方法應該從正面分類或反面求解。

向學生傳授概率知識，這無疑是概率課的重要任務。問題是如何把概率課講“懂”，使學生真正把知識學好。因此，從條件概率的教學過程中，要解決學生的疑惑，形成概念，教師要從多方面進行細緻考慮，並非簡單地把知識、公式告訴學生就行。概率知識有着獨特的背景知識，所以在備課時要儘量發掘有關概論、定理、結論的發現過程，瞭解那些被寫到科普文章裏去的數學史料，如此節課的狄青擲100枚硬幣的故事。在概念形成教學中，教師還必須讓學生進行充分的自主活動，使他們有機會經歷概念產生的過程，同時引導學生對認知結構中的新舊概念進行對比分化，並將新概念納入到已有的概念系統中去。

數學新課程中，概率可以説是最讓教師感到“頭疼”的內容之一。這個具有獨特思維方式的領域既難教又難學，如何更好地照顧這個“新生兒”，是廣大教師將會一直思索的問題，前路漫漫，我們將上下求索……

參考文獻：

【1】       張遠南．概率和方程的故事．中國少年兒童出版社．2005.7

【2】       林寶磊．運算作主線，概率學習可以更美的．